Rumore di corrente termica infinito in un filo?

La densità del rumore termico può essere scritta come:

Sembra un po 'brutto, ma forse se pensiamo un po' di più a cosa sia un filo a resistenza zero, possiamo capire perché non otterremo qualcosa di fisicamente irrealistico.

superconduttori

Un modo per ottenere una resistenza zero sarebbe usare i superconduttori. Questi sono materiali molto strani - hanno enormi effetti quantistici, ma la teoria del rumore Johnson-Nyquist che stai usando nella tua domanda è semi-classica, quindi potremmo ragionevolmente aspettarci che non funzioni quando succedono molte cose quantistiche.

In effetti, in un superconduttore, ci sono due "fluidi" conduttori che condividono lo stesso spazio. Uno, il fluido normale, è fatto di elettroni e si comporta come un elettrone in un materiale normale. Ciò avrà fluttuazioni termiche proprio come quelle che causano il rumore di Johnson Nyquist. L'altro, chiamato superfluido, è fatto di coppie di bottaio e ha resistenza zero. Quindi cortocircuita qualsiasi corrente o tensione esterna (che è ciò che rende i superconduttori perfetti). Ma ridurrà anche la tensione di rumore dal fluido normale. Ogni fluttuazione termica nel materiale sarà immediatamente e completamente cancellata da un movimento nel superfluido, quindi non ci sarà alcun rumore Johnson-Nyquist. Potrebbero esserci altri rumori, ma questo è un altro argomento.

Non superconduttori

Questo ci lascia fare un filo a resistenza zero con materiali normali, il che è ovviamente impossibile. Quindi il problema non è che la corrente è infinita, è che tende all'infinito mentre riduciamo la resistenza. Per vedere se ciò ha senso, dobbiamo pensare a cosa significhi davvero ridurre la resistenza a zero.

La resistenza di un blocco di materiale è una costante dipendente dal materiale per la lunghezza divisa per l'area della sezione trasversale. I due modi per ottenere resistenza zero sono quindi:

1. Per aumentare l'area all'infinito. Avere una corrente di rumore infinita in un'area infinita sembra ragionevole, la densità di corrente è la stessa di un blocco di materiale finito.

2. Ridurre la lunghezza a zero. Questo è un po 'più complicato e non sono sicuro che la mia soluzione sia corretta. Ma penso che questo si riduce a una cosa di geometria. Se la circonferenza dell'anello tende a zero, anche lo spessore del filo deve tendere a zero, altrimenti non è più un anello di filo. Ciò significa che esiste una resistenza minima, in cui è possibile applicare ragionevolmente il teorema di Johnson-Nyquist. Oltre a ciò, hai una lastra di rame con un buco e dovresti analizzarla in modo diverso. C'è un intero sottocampo della fisica chiamato elettrodinamica fluttuante e probabilmente troverai la risposta dettagliata da qualche parte lì dentro.

Sembra strano! Capisco che la potenza del rumore finale non dipende dalla resistenza, ma la densità del rumore ancora infinita sembra assurda.

No, non è né strano né assurdo perché stai dividendo 0 per 0:

Ottieni energia dalla corrente quadrando e moltiplicando per R, quindi ottieni una R nel numeratore e una nel denominatore ed entrambe annulla:

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
che è indipendente da R.

Quindi, anche se l' attuale densità del rumore è infinita, la potenza del rumore non lo è.

la densità del rumore ancora infinita sembra assurda.

Stai assumendo $R=0$, che è altrettanto assurdo. Ma sì, se hai la minima tensione in un sistema senza resistenza, ottieni una corrente infinita. Ohm.

Tuttavia, la formula del rumore termico è in realtà derivata dal caso di tensione (cioè si ottiene una fluttuazione del livello di energia delle cariche (elettroni), che sono osservabili come fluttuazione della tensione). Quindi, in un superconduttore, quel modo di guardare il rumore termico si rompe.

Sembra strano. Anzi è sbagliato! Jack B ha sottolineato il punto cruciale : il rumore di Johnson-Nyqvist è un modello semiclassico, vale a dire un'approssimazione semplificata che funziona bene nel limite di sistemi su larga scala (ovvero, qualcosa di più di un paio di centinaia di atomi) ad alta temperatura (che in fisica dello stato solido significa approssimativamente, non raffreddata con elio liquido ). È a queste condizioni che il comportamento misurabile “sembra classico”, perché le fluttuazioni termiche distruggono la coerenza di fase che sarebbe necessaria per mostrare i fenomeni quantistici macroscopici come la superconduttività o l'effetto hall quantistico. Accade così che in elettronica lavoriamo sempre in questo regime classico per ovvie ragioni pratiche.

Ma le stesse fluttuazioni termiche (collisioni di fononi) causano inevitabilmente anche resistività diversa da zero. Quindi puoi solo prendere il limite$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$ effettuando una sezione trasversale $A$ infinitamente grande (nel qual caso, come ha detto Jack, è del tutto ragionevole che anche le correnti diventino infinite, così come la massa e tutto il resto) o riducendo la lunghezza $\ell$ praticamente a zero, nel qual caso non si dispone del sistema su larga scala necessario per la descrizione semiclassica.

Leggi la catastrofe ultravioletta , che è un paradosso per lo più analogo in termini di energia di radiazione ed è stato in effetti uno degli incentivi per lo sviluppo della teoria meccanica quantistica in primo luogo, visto che la fisica classica ha evidentemente dato risultati fasulli.