Cosa sono esattamente le armoniche e come "appaiono"?

Leggendo così tante fonti online, non riesco ancora a capire perché una diversa forma d'onda abbia armoniche.

Ad esempio: quando si progetta un circuito di modulazione di ampiezza sciocca (AM) che inserisce un'onda quadra da un microcontrollore in un'antenna, come vengono generate le armoniche? Il segnale è solo "on" o "off", come sono le armoniche prima, terza e quinta e perché diventano più deboli?

Ho sentito che gli oscilloscopi sono in grado di misurare fino alla quinta armonica di un'onda quadra (o qualcosa di simile) è importante, ma perché ciò renderebbe la lettura diversa? Queste armoniche sono irrilevanti in cose come il trasferimento di dati (alto = 1, basso = 0) e sono importanti solo in situazioni come audio o RF?

Perché le onde sinusoidali non hanno tante armoniche? Perché la forma d'onda è sempre in movimento e non piatta, salendo (triangolo) o orizzontale (quadrato), ma circolare con un valore sempre mutevole?

Le onde sinusoidali non hanno armoniche perché sono esattamente le onde sinusoidali che combinate possono costruire altre forme d'onda. L'onda fondamentale è un seno, quindi non è necessario aggiungere nulla per renderlo il segnale sinusoidale.

Informazioni sull'oscilloscopio. Molti segnali hanno un gran numero di armoniche, alcune, come un'onda quadra, in teoria infinita.

Questa è una costruzione parziale di un'onda quadra. Il seno blu che mostra 1 periodo è fondamentale. Poi c'è la terza armonica (le onde quadrate non hanno nemmeno armoniche), quella viola. La sua ampiezza è 1/3 del fondamentale, e puoi vedere che è tre volte la frequenza del fondamentale, perché mostra 3 periodi. Lo stesso vale per la quinta armonica (marrone). L'ampiezza è 1/5 del fondamentale e mostra 5 periodi. L'aggiunta di questi dà la curva verde. Questa non è ancora una buona onda quadra, ma vedete già i bordi ripidi e la linea ondulata orizzontale alla fine diventerà completamente orizzontale se aggiungiamo più armoniche. Quindi è così che vedrai un'onda quadra sull'oscilloscopio se vengono mostrate solo fino alla quinta armonica. Questo è davvero il minimo, per una migliore ricostruzione avrai bisogno di più armoniche.

Come ogni segnale non sinusoidale, il segnale modulato AM creerà armoniche. Fourier ha dimostrato che ogni segnale ripetuto può essere decostruito in una fondamentale (stessa frequenza della forma d'onda) e armoniche che hanno frequenze multiple del fondamentale. Si applica anche alle forme d'onda non ripetitive. Quindi, anche se non vedi prontamente come sarebbero, l'analisi è sempre possibile.

Questo è un segnale AM ​​di base e il segnale modulato è il prodotto del vettore e del segnale in banda base. Adesso

$sin(f_C) \cdot sin(f_M) = \dfrac{cos(f_C - f_M) - cos(f_C + f_M)}{2}$

Quindi puoi vedere che anche un prodotto di seni può essere espresso come la somma di seni, cioè entrambi i coseni (le armoniche possono avere la loro fase spostata, in questo caso di 90 °). Le frequenze e sono le bande laterali sinistra e destra della frequenza portante .( f C + f M ) f $(f_C - f_M)$$(f_C + f_M)$$f_C$

Anche se il segnale in banda base è un segnale dall'aspetto più complesso, è possibile spezzare il segnale modulato in seno separati.

La risposta di Pentium100 è abbastanza completa, ma vorrei dare una spiegazione molto più semplice (anche se meno accurata).

Il motivo perché le onde sinusoidali hanno (idealmente) solo un'armonica è perché il seno è il segnale periodico "più regolare" che si può avere, ed è quindi il "migliore" in termini di continuità, derivabilità e così via. Per questo motivo è conveniente esprimere le forme d'onda in termini di onde sinusoidali (puoi farlo anche con altre onde, così come sono ).$C^{\infty}$

Solo un esempio: perché in acqua di solito vedi onde curve? (per questo, ignora l'effetto della spiaggia o del vento) Di nuovo, è perché è la forma che richiede meno energia per formarsi, poiché tutte le rampe e gli spigoli sono lisci.

In alcuni casi, come l' organo Hammond , le onde sinusoidali sono effettivamente utilizzate per comporre il segnale, perché con la decomposizione è possibile sintetizzare molti (praticamente tutti) suoni.

C'è una bella animazione di LucasVB che spiega la decomposizione di Fourier di un'onda quadra:

Queste immagini spiegano meglio la decomposizione dell'onda quadra in armoniche:

È possibile scomporre qualsiasi forma d'onda in una serie infinita di onde sinusoidali sommate. Questo si chiama analisi di Fourier (se la forma d'onda originale si ripete) o trasformata di Fourier (per qualsiasi forma d'onda).

Nel caso di una forma d'onda ripetuta (come un'onda quadra), quando si esegue l'analisi di Fourier, si scopre che tutti i seni che compongono la forma d'onda hanno frequenze che sono un numero intero multiplo della frequenza della forma d'onda originale. Questi sono chiamati "armoniche".

Un'onda sinusoidale avrà solo un'armonica - la fondamentale (beh, è ​​già sinusoidale, quindi è formata da un seno). L'onda quadra avrà una serie infinita di armoniche dispari (cioè, per creare un'onda quadra dai seni è necessario aggiungere i seni di ogni multiplo dispari della frequenza fondamentale).

Le armoniche vengono generate distorcendo l'onda sinusoidale (sebbene sia possibile generarle separatamente).

Perché questo è importante:

1. È possibile creare un'onda sinusoidale da qualsiasi onda di una frequenza fissa, purché si disponga di un filtro che passa la frequenza fondamentale, ma blocca la frequenza 2x (poiché si lascerebbe in posizione una sola armonica).
2. In realtà, puoi creare un'onda sinusoidale che ha una frequenza diversa rispetto all'originale: basta usare un filtro passa-banda per passare l'armonica desiderata. Puoi usarlo per ottenere un'onda sinusoidale di una frequenza che è un multiplo della frequenza di un altro seno - basta distorcere il seno originale e scegliere l'armonica che desideri.
3. I sistemi RF devono emettere forme d'onda che non contengono armoniche al di fuori della gamma di frequenza consentita. Ecco come un alimentatore PWM (frequenza operativa ~ 100kHz, onda quadra) può interferire con la radio FM (frequenze operative 88-108MHz, 11-12MHz (IF)).
4. Se vuoi avere un'onda quadra con tempi di salita / discesa molto rapidi, la larghezza di banda del tuo sistema dovrà essere molto più ampia della frequenza fondamentale della tua onda quadra.

La derivata - tasso di variazione - di una sinusoide è un'altra sinusoide alla stessa frequenza, ma sfasata. I componenti reali - fili, antenne, condensatori - possono seguire i cambiamenti (di tensione, corrente, intensità di campo, ecc.) Dei derivati, così come possono seguire il segnale originale. Le velocità di variazione del segnale, della velocità di variazione del segnale, della velocità di variazione della velocità di variazione del segnale, ecc., Esistono tutte e sono limitate.

Le armoniche di un'onda quadra esistono perché il tasso di cambiamento (prima derivata) di un'onda quadra è costituito da picchi molto alti e improvvisi; picchi infinitamente alti, nel caso limite di una cosiddetta onda quadra perfetta. I sistemi fisici reali non possono seguire frequenze così elevate, quindi i segnali vengono distorti. Capacità e induttanza limitano semplicemente la loro capacità di rispondere rapidamente, quindi suonano.

Proprio come una campana non può essere né spostata né distorta alla velocità con cui viene suonata, e quindi immagazzina e rilascia energia (vibrando) a velocità più basse, così un circuito non risponde alla velocità con cui è colpito dalla punte che sono i bordi dell'onda quadra. Anche suona o oscilla mentre l'energia viene dissipata.

Un blocco concettuale può venire dal concetto che le armoniche hanno una frequenza più alta di quella fondamentale. Ciò che chiamiamo frequenza dell'onda quadra è il numero di transizioni che effettua per unità di tempo. Ma torniamo a quei derivati: i tassi di cambiamento che il segnale fa sono enormi rispetto ai tassi di cambiamento in una sinusoide alla stessa frequenza. Qui è dove incontriamo le frequenze dei componenti più alti: questi alti tassi di cambiamento hanno gli attributi delle onde sinusoidali a frequenza più alta . Le alte frequenze sono implicate dagli alti tassi di variazione del segnale quadrato (o di altri segnali non sinusoidali).

Il fronte di salita rapido non è tipico di una sinusoide alla frequenza f , ma di una sinusoide di frequenza molto più elevata. Il sistema fisico lo segue nel miglior modo possibile ma essendo limitato nella frequenza, risponde molto di più ai componenti a frequenza più bassa rispetto a quelli più alti. Quindi noi esseri umani lenti vediamo l'ampiezza maggiore, le risposte a frequenza più bassa e la chiamiamo f !

In termini pratici, la ragione per cui "le armoniche" appaiono "è che i circuiti di filtraggio lineare (così come molti circuiti di filtraggio non lineari) che sono progettati per rilevare determinate frequenze percepiranno certe forme d'onda di frequenza inferiore come le frequenze a cui sono interessati. Per capire perché, immagina una grande molla con un peso molto pesante che è attaccato a una maniglia tramite una molla abbastanza allentata. Tirando la maniglia non si sposta direttamente molto il peso pesante, ma la grande molla e il peso avranno una certa frequenza di risonanza, e se si sposta la maniglia avanti e indietro a quella frequenza, si può aggiungere energia al grande peso e alla molla , aumentando l'ampiezza dell'oscillazione fino a quando è molto più grande di quanto si possa produrre "direttamente" tirando la molla libera.

Il modo più efficiente per trasferire energia nella grande molla è quello di tirare uno schema uniforme corrispondente a un'onda sinusoidale, lo stesso schema di movimento della grande molla. Altri schemi di movimento funzioneranno, comunque. Se si sposta la maniglia in altri schemi, parte dell'energia che viene messa nel gruppo molla-peso durante le parti del ciclo verrà estratta durante gli altri. Come semplice esempio, supponiamo che uno semplicemente blocchi la maniglia alle estremità estreme della corsa ad una velocità corrispondente alla frequenza di risonanza (equivalente a un'onda quadra). Spostare la maniglia da un'estremità all'altra proprio quando il peso raggiunge la fine della corsa richiederà molto più lavoro di quello che si aspetterebbe che il peso si sposta indietro prima, ma se in quel momento non si sposta la maniglia, la molla sull'impugnatura si combatte il peso ' s tentativo di tornare al centro. Tuttavia, spostare chiaramente la maniglia da una posizione estrema all'altra funzionerebbe comunque.

Supponiamo che il peso impieghi un secondo per oscillare da sinistra a destra e un altro secondo per oscillare all'indietro. Ora considera cosa succede se uno ha spostato la maniglia da un estremo del movimento all'altro, ma si sofferma per tre secondi su ciascun lato anziché un secondo. Ogni volta che uno sposta la maniglia da un estremo all'altro, il peso e la molla avranno essenzialmente la stessa posizione e velocità di due secondi prima. Di conseguenza, avranno circa quanta energia aggiunta a loro come avrebbero avuto due secondi prima. D'altra parte, tali aggiunte di energia accadranno solo un terzo tutte le volte che avrebbero quando il "tempo di permanenza" fosse solo un secondo. Così, spostando la maniglia avanti e indietro a 1 / 6Hz si aggiunge un terzo di energia al minuto (potenza) al peso che si sposta avanti e indietro a 1 / 2Hz. Una cosa simile accade se si sposta la maniglia avanti e indietro a 1 / 10Hz, ma poiché i movimenti saranno 1/5 tutte le volte che a 1 / 2Hz, la potenza sarà 1/5.

Supponiamo ora che invece di avere il tempo di attesa sia un multiplo di numero dispari, uno lo rende un multiplo di numero pari (ad esempio due secondi). In quello scenario, la posizione del peso e della molla per ciascuna mossa da sinistra a destra sarà la stessa della sua posizione sulla prossima mossa da destra a sinistra. Di conseguenza, se la maniglia aggiunge energia alla molla della prima, tale energia sarà sostanzialmente annullata dalla seconda. Di conseguenza, la molla non si muoverà.

Se, invece di eseguire movimenti estremi con l'impugnatura, lo si sposta più agevolmente, quindi a frequenze più basse del movimento dell'impugnatura ci sono più volte in cui si combatte il movimento della combinazione peso / molla. Se si sposta la maniglia in un modello di onda sinusoidale, ma a una frequenza sostanzialmente diversa dalla frequenza di risonanza del sistema, l'energia che si trasferisce nel sistema quando si spinge il modo "giusto" sarà abbastanza ben bilanciata dall'energia presa fuori dal sistema spingendo nel modo "sbagliato". Altri schemi di movimento che non sono estremi come l'onda quadra, almeno alcune frequenze, trasferiranno nel sistema più energia di quanta ne venga eliminata.

un'analogia ancora più semplice è immaginare un trampolino.

elettrificare un conduttore è analogo all'allungamento della membrana del trampolino, in tal modo "si estende" (distorce) i campi di energia collegati a quel filo.

andare in piedi nel mezzo del trampolino, allungare la mano e afferrare la membrana del pavimento del trampolino. ora alzati e tiralo / allungalo mentre procedi, quindi c'è un picco circa l'altezza della vita.

questo ha ovviamente l'effetto di immagazzinare un po 'di energia nella membrana.

ora se lo lasci andare, non galleggerà dolcemente e smetterà di muoversi. scenderà rapidamente e poi VIBRERA '... oscillando avanti e indietro un sacco di volte' da solo '... mentre scarica l'energia accumulata.

se invece lo si abbassa gradualmente al suo posto ... non può scattare violentemente da nessuna parte e quindi nulla provoca / gli permette di vibrare "da solo". l'unica vibrazione che sta facendo è che tu lo sposti.

tutte le frequenze (di qualsiasi forma d'onda) hanno armoniche matematiche, le forme d'onda con improvvisi potenziali cambiamenti forniscono un'opportunità più facile per queste armoniche di essere espresse come oscillazioni del mondo reale.

Solo un complemento a questa domanda,

Queste armoniche sono irrilevanti in cose come il trasferimento di dati (alto = 1, basso = 0) e sono importanti solo in situazioni come audio o RF?

che penso che nessuno abbia detto: non è irrilevante. Di solito siamo interessati a trasmettere impulsi in circuiti digitali, quindi nella maggior parte dei casi non prendiamo in considerazione questa fenomenologia ondulatoria. Questo perché anche se l'onda quadra ha le sue armoniche (non il numero infinito di armoniche nel mondo reale), quindi ci vorrà del tempo per alzarsi / abbassarsi, la progettazione dei circuiti di solito ne è "consapevole". Questo è uno dei maggiori vantaggi dell'elettronica digitale / comunicazione digitale: da un dato punto (tensione) in su, il segnale viene interpretato come 1 e da un dato punto in basso, è 0. Nella maggior parte dei casi non importa davvero il formato preciso dell'onda quadra poiché soddisfa determinate specifiche temporali.

Ma nota che se la frequenza del tuo segnale quadrato aumenta fino a un punto in cui la lunghezza d'onda è approssimativamente nell'ordine di grandezza della sua linea di trasmissione (può essere una traccia conduttiva di un PCB), allora puoi prendere in considerazione questa fenomenologia ondulatoria. Hai ancora un circuito in mano ma potrebbero verificarsi alcuni fenomeni ondulatori. Quindi, a seconda dell'impedenza della "linea", alcune frequenze potrebbero avere una velocità di propagazione diversa di altre frequenze. Poiché l'onda quadra è composta da molte armoniche (o idealmente infinito) probabilmente avrai un'onda quadra distorta alla fine della tua linea di trasmissione o traccia conduttiva (perché ogni armonica viaggerà con velocità diverse).

Un buon esempio in cui ciò può accadere è quando usiamo la trasmissione di dati USB in un circuito. Si noti che la velocità dei dati è molto alta (onde quadrate ad alta frequenza), quindi è necessario prendere in considerazione l'impedenza della linea di trasmissione. Altrimenti probabilmente avrai problemi nella comunicazione.

In breve, tutto conta e funziona insieme ma spetta a te analizzare se queste cose sono importanti nel tuo progetto / analisi o meno.