Un'onda triangolare avrebbe componenti sinusoidali finite o infinite?

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Una discontinuità fa sì che un segnale abbia infiniti componenti sinusoidali, ma un'onda triangolare è continua, stavo prendendo una classe in cui un istruttore ha detto che poiché l'onda triangolare è continua può essere rappresentata da un numero finito di componenti sinusoidali e ha anche mostrato un aggiunta finita di più frequenze di sinusoidi che hanno dato la forma di un'onda triangolare pura.

L'unico problema che ho in mente è che la derivata di un'onda triangolare non è continua in quanto è un'onda quadra e quindi avrebbe bisogno di una somma infinita di sinusoidi, quindi se si derivano entrambi i lati della formula della serie di Fourier di un'onda triangolare , otterremmo un'onda quadra mostrata come somma di un numero finito di sinusoidi. Non sarebbe sbagliato?

fourier

— Syed Mohammad Asjad
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L'onda triangolare ha un'infinata serie di Fourier. Ricorda che i tutor sono fallibili.

— Autistico

Cosa ha detto il tuo istruttore quando glielo hai chiesto?

— Solar Mike,

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@Syed Mohammad Asjad: il tuo ragionamento con il derivato è corretto. Forse hai una migliore comprensione della questione rispetto al tuo istruttore.

— Cagliata

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In effetti, per avere una serie di Fourier finita, la funzione e TUTTI i suoi derivati devono essere continui. Tutti i derivati di una sinusoide sono continui, e questo vale anche per qualsiasi somma finita di sinusoidi.

— Dave Tweed

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Non una risposta, ma: le serie di Fourier con coefficienti finiti sono molto restrittive. La maggior parte delle funzioni periodiche ha infinite serie di Fourier. Tuttavia, più fluida è la funzione, più rapido è il decadimento dei coefficienti all'infinito. Se una funzione è k volte differenziabile con derivata limitata, i suoi coefficienti di Fourier (c_n) decadono velocemente come 1 / n ^ (k + 1), come si può vedere dall'induzione. Per le funzioni analitiche (funzioni con serie convergenti di Taylor, vale a dire anche più fluide di infinitamente differenziabili), il decadimento è esponenziale. Il triangolo ha una serie di Fourier che è esattamente 1 / n ^ 2.

— Alexandre C.,

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un'onda triangolare è continua

Citazione da qui : -

L'onda triangolare non presenta salti discontinui, ma la pendenza cambia in modo discontinuo due volte per ciclo

Avere il cambiamento di pendenza in modo discontinuo significa anche una gamma infinita di componenti sinusoidali.

Ad esempio, se hai integrato nel tempo un'onda quadra produci un'onda triangolare ma, dopo l'integrazione temporale, tutti gli hamonici dell'onda quadra originale sono ancora presenti: -

— Andy aka
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Avevo pensato la stessa rappresentazione grahical aiutata molto, grazie :)

— Syed Mohammad Asjad,

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l'istruttore ha detto che, poiché l'onda triangolare è continua, può essere rappresentata da un numero finito di seno

O non hai capito bene o l'errore dell'istruttore. Non è sufficiente che il segnale stesso sia continuo, ma anche tutti i derivati devono essere continui. Se c'è qualche discontinuità in qualsiasi derivata, il segnale ripetuto avrà una serie infinita di armoniche.

Un triangolo è continuo, ma la sua prima derivata è un'onda quadra, che non è continua. Un'onda triangolare ha quindi una serie infinita di armoniche.

— Olin Lathrop
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No, non ha sentito male, né ha sbagliato a parlare perché lo ha detto due volte e ha anche chiesto alla classe in seguito cosa aveva detto ed esattamente cosa avevo pensato :)

— Syed Mohammad Asjad,

@SyedMohammadAsjad hai ragione entrambi. Da google; errore di battitura: "esprimersi in modo insufficientemente chiaro o preciso". Penso che uno di voi stia usando "insufficientemente chiaro" e l'altro stia usando "insufficientemente preciso".

— uho,

Sebbene la formulazione di queste risposte lo suggerisca in qualche modo, il fatto che tutti i derivati esistano (e quindi siano continui, per l'esistenza del derivato successivo), è ancora lungi dall'essere sufficiente per avere una serie di Fourier finita. La maggior parte delle serie di Fourier per segnali periodici, per quanto lisce (classe $ \ mathcal C ^ \ infty $, o persino analitica) hanno infinitamente molti componenti diversi da zero; è difficile trovare una descrizione di quelli che non sono altro che "somme finite di seno e coseno". Tutto ciò che la levigatezza implica è un con cui i coefficienti tendono a 0.

— Marc van Leeuwen

un filtro a mattoni può limitare il numero di armoniche e sembra ancora / \ / \ / \ / \ / \ / trinagular con almeno 20, lontano dall'infinte

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

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Prova matematica:

Prendi una funzione costituita dalla somma ponderata di una serie finita di componenti seno / coseno.

Il suo derivato è anche una somma ponderata di una serie finita di componenti seno / coseno. Lo stesso se si derivano un numero qualsiasi di volte.

Poiché seno e coseno sono continui, la funzione e tutti i suoi derivati sono continui.

Pertanto, una funzione che presenta una discontinuità in nessuno dei suoi derivati non può essere costruita con una serie finita di componenti seno / coseno.

— peufeu
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Esattamente quello che avevo pensato, grazie :)

— Syed Mohammad Asjad l'

Dovrebbe essere "seno e coseno sono lisci" non solo continuo - ma l'essenza è corretta, una somma finita di seno e coseno è liscia quindi non possono avere discontinuità in nessuno dei suoi derivati

— nimish

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@nimish Dimostra che tutti i derivati sono somme finite di (co) seni, quindi ha solo bisogno di continuità di (co) seni, non di fluidità :-)

— yo

Sì, l'ho perso. Sebbene dall'analiticità di $ \ exp (z) $ per $ z \ in \ mathbb {C} $, segue comunque banalmente.

— nimish,

Complimenti per la risposta matematica che spiega la matematica invece di incollarla!

— uho,

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Le buone risposte abbondano qui, ma dipende davvero dalla tua interpretazione di "può essere rappresentato da" .

Bisogna capire che un'onda triangolare è un costrutto matematico teorico che non può realmente esistere nella realtà.

Matematicamente parlando, per ottenere un'onda triangolare pura avresti bisogno di un numero infinito di onde sinusoidali armoniche, ma per ottenere una rappresentazione di un'onda triangolare la maggior parte di quei componenti sono troppo piccoli per essere importanti, perderti nel rumore di fondo del sistema, o sono di così alta frequenza da non essere più trasmissibili.

Pertanto, in pratica, è necessario solo un numero finito per ottenere una rappresentazione utilizzabile. Quanto vuoi che la rappresentazione imponga quante armoniche devi usare.

— Trevor_G
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Questa è davvero una delle cose da guardare, chiederò sicuramente al mio insegnante se intendesse che, poiché hai ragione, in realtà non andiamo affatto alle frequenze infinite, nemmeno nell'onda quadra (che non è t a pure square) :)

— Syed Mohammad Asjad,

Mentre hai ragione sul fatto che un'onda triangolare è un costrutto matematico, il tuo ragionamento è sbagliato. Il fatto che non si riesca a produrre finitamente molte armoniche non fornisce una prova del fatto che non si può fare affatto.

— L'

@yo 'in effetti questa è una di quelle cose con cui penso che molti di noi si divertano. Se un'onda triangolare = numero infinito di onde sinusoidali ad un certo punto non è possibile aggiungere o passare le armoniche. Se è solo un'onda triangolare .... generata da altri mezzi ... allora cosa ... come la trasmetti ... e come fa la cosa che la trasmette a conoscere la differenza ... mi fa venire il mal di testa a riguardo .. Fondamentalmente, anche se è solo un breve pezzo di filo o traccia PCB ... non può senza distorcerlo.

— Trevor_G,

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La differenza tra l'ideale matematico e il mondo reale, in breve.

— Peter

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Un altro approccio.

Chiamiamo x (t) l'onda triangolare e y (t) è la sua derivata, che è un'onda quadra, quindi discontinua.

Se x (t) fosse una somma finita di segnali sinusoidali, la sua derivata, per la linearità di tale operazione, sarebbe una somma finita di derivati di segnali sinusoidali, cioè di nuovo una somma finita di segnali sinusoidali.

Ma quest'ultimo segnale non può essere l'onda quadra y (t), poiché una somma finita di segnali sinusoidali è continua. Quindi abbiamo una contraddizione.

Pertanto x (t) deve avere infiniti componenti di Fourier.

— Lorenzo Donati sostiene Monica
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Propongo un test molto più semplice da utilizzare in pratica. Se l'onda ha angoli acuti, per costruire sono necessarie infinite componenti sinusiodal.

Perché? Perché una serie finita di sinusiodi non può fare un angolo acuto. Ciò è dimostrato dall'induzione sulla regola di decomposizione delle somme (ovvero, Σ (a + b) = Σ a + Σ b per tutte le sommazioni finite e tutte le sommazioni infinite incondizionatamente convergenti).

— Giosuè
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L'insieme di funzioni che sono espresse da una serie di Fourier finita sono:

F : = {f (X) = {un'}_{0} + Σ_{n}^{n \in N} ({un'}_{n} \cos n X + B_{n} peccato n X)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

Per tutti insieme finito di indici N . Termine a termine mostra differenziazione che i derivati a dire (1) continuo e (2) anche in F . Poiché la derivata del triangolo d'onda non è continua, la funzione dell'onda triangolare non è in F .

Questa prova è basato fuori di discontinuità, ma la maggior parte delle funzioni continue anche non appartengono a F . Poiché nessuna funzione polinomiale o esponenziale può essere espressa come una somma finita di seni e coseni, gli unici membri di F sono quelli scritti esplicitamente nella forma sopra.

— Jared Goguen
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