Perché, in un circuito passivo con un ingresso sinusoidale, tutte le tensioni e le correnti hanno lo stesso comportamento sinusoidale dell'ingresso?

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Sono noto che in qualsiasi circuito composto da elementi passivi lineari e un ingresso sinusoidale, tutte le tensioni e le correnti attraverso e attraverso qualsiasi elemento mostreranno lo stesso comportamento e frequenza sinusoidali dell'ingresso; ecco come funzionano i filtri passivi. Ma non riesco a capire o trovare una prova concreta / diretta del perché ciò accada, se non della semplice osservazione.

circuit-analysis passive-filter passive-components

— mjtsquared
fonte

Puoi provare per ogni componente in questione. Ogni componente ha un comportamento ben definito.

— Eugene Sh.

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La madre ama la sinusoide. Nel condensatore, ad esempio, la corrente nel condensatore è direttamente proporzionale alla velocità di variazione della tensione tra le sue piastre. I = C * dV / dt. Quindi, se la tensione è una sorpresa sinusoidale, sorprendi che la derivata di un'onda sinusoidale sia un'onda coseno (onda sinusoidale sfasata). Quindi, la madre natura deve amare l'onda sinusoidale. Lo stesso vale per un induttore V = L * dI / dt. E se la tensione è un'onda sinusoidale, la corrente è un'onda coseno.

— G36,

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So che We Don't Like Fun ™, ma la tua lezione su come mia madre ama l'onda sinusoidale mi ha appena reso felice.

— dlatikay,

Usando i coefficienti di temperatura dei resistori e la resistenza termica totale (resistenza, traccia PCB, bulloni per togliere calore dal PCB), troverai l'IP3 (punto di intercettazione della distorsione del 3 ° ordine) di un resistore a montaggio superficiale del valore di 100.000 ohm è circa 1.000 volt. Ovviamente si tratta di una dissipazione di 10 watt in un resistore SMT.

— analogsystemsrf

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Di quali tipi di elementi passivi stai parlando? I diodi sono passivi ma sarò dannato se riesci a

— togliergli i

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Mi sono dilatato il cervello e alla fine ho trovato un approccio matematico piacevole per dimostrarlo e ho deciso di rispondere alla mia domanda. In tale circuito, la risoluzione di qualsiasi tensione / corrente attraverso / attraverso qualsiasi componente (chiamerò che ) porterebbe sempre a costruire un'equazione differenziale che è sempre lineare, con coefficienti costanti (a causa delle proprietà lineari dei componenti passivi) e non omogeneo (a causa dell'ingresso sinusoidale). Tale equazione differenziale assumerà sempre questa forma: $f$ dovesono costanti (combinazioni di induttanza, resistenza, ecc.),è l'ordine dell'equazione differenziale (che riflette il numero di elementi di accumulo di energia nel circuito) eè una funzione sinusoidale generalizzata che descrive l'input. Una soluzione generale a questa equazione differenziale prenderà sempre questa forma:

a \frac{d^{n} f}{d t^{n}} + b \frac{d^{n - 1} f}{d t^{n - 1}} + . . . + j \frac{d f}{d t} + k f = C \sin (ω t + θ)

$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$

a . . . k

$a...k$

n

$n$

C \sin (ω t + θ)

$C\sin{(\omega t+\theta)}$

f = (general homogeneous solution) + (particular solution)

$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$ dove la soluzione particolare

che è una funzione sinusoidale della stessa frequenza! Ora, nell'analisi del circuito CA, guardiamo sempre il circuito in stato stazionario, quando la soluzione omogenea si avvicina allo zero (che inevitabilmente accade a causa delle resistenze nel circuito).

= A \sin (ω t + θ) + B \cos (ω t + θ)

$=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

— mjtsquared
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Non meritiamo persone come te. Una persona che fa una domanda buona e ben scritta e poi fa una buona risposta.

— Harry Svensson,

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Vale la pena sottolineare per i futuri lettori che il requisito per il circuito di essere lineare non è indicato nella domanda originale, ma è necessario per applicare questa soluzione (e per il risultato sia corretto). Un altro modo per dirlo è che i sinusoidi (e gli esponenziali) sono autofunzioni dell'operatore derivato.

— The Photon,

Detto semplicemente: se la derivata di un seno ha la stessa frequenza, QUALSIASI derivata dell'ordine ha la stessa frequenza.

— Roland,

In che modo la tua postulazione affronta la condizione di un circuito LC risonante ideale in cui la trasformazione = 0?

— Glenn W9IQ,

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L'uscita di un circuito LC risonante è solo due sinusoidi che si annullano esattamente. Fortunatamente, non esiste un circuito LC ideale per la cancellazione esatta dei sinusoidi, quindi l'uscita è solo una sinusoide con un'ampiezza molto piccola.

— mjtsquared,

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Questo è solo vero per i circuiti LTI (Linear Time-Invariant). Se hai un componente non ideale (e sono tutti in un modo o nell'altro) vedrai le armoniche della frequenza di ingresso nell'uscita. Gli induttori tendono ad essere i peggiori del lotto, ma tutte le parti passive hanno tale comportamento. Ad esempio, i condensatori possono presentare un forte coefficiente di tensione e non sono invarianti nel tempo a causa dell'assorbimento dielettrico.

Per una semplice prova matematica (presupponendo una conoscenza matematica all'incirca del 2 ° anno) puoi leggere queste note del corso Berkeley (EECS20N: Signals and Systems). Puoi scaricare l'intero testo qui .

— Spehro Pefhany
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Gli induttori sono davvero i peggiori? Alcuni materiali di base sono certamente molto non lineari, ma almeno gli induttori toroidali ad aria HF dovrebbero essere davvero molto lineari.

— lasciato il

@leftaroundabout Suppongo che i condensatori ceramici facciano correre i loro soldi. Gli induttori tendono ad essere meno ideali in modo lineare a causa della resistenza del filo.

— Spehro Pefhany,

Se è vero nel caso dei circuiti LTI, come si affronta la condizione di un circuito LC risonante ideale in cui la trasformazione = 0?

— Glenn W9IQ,

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Succede perché un'onda sinusoidale è solo una linea nello spettro di frequenza e non importa cosa ci fai usando un filtro o un amplificatore lineare, tutto ciò che accade è che la fase o l'ampiezza cambiano.

Se fosse un'onda quadra (armoniche infinite), l'applicazione di un filtro attenuerebbe o accentuerebbe alcune frequenze più di altre e l'onda quadra perderebbe la sua forma quadrata riconoscibile.

Armoniche ad onda quadra: -

Fonte GIF

— Andy aka
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se un'onda quadra è come una mela, un segnale di input sinusoidale è come un'arancia

— Roland

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Il motivo di base è che le equazioni costituenti dei componenti ideali di R, L e C sono equazioni lineari invarianti di tempo che coinvolgono solo derivati e integrali (entrambe le operazioni lineari) e che seno e coseno cambiano in altri seni e coseni quando agiscono su tali operatori lineari.

La derivata e l'integrale di una funzione sinusoidale sono un'altra funzione sinusoidale della stessa frequenza (può solo cambiare in ampiezza e fase). KCL e KVL possono solo portare a somme algebriche di tali funzioni sinusoidali e tale operazione può produrre solo un'altra funzione sinusoidale. Quindi, alla fine, quando si collegano R, L e C in una rete, un ingresso sinusoidale porterà sempre a un'uscita sinusoidale.

Vedi la mia altra risposta qui .

Tutto ciò è una conseguenza diretta della somiglianza di sé della funzione esponenziale (correlata ai seni e ai coseni dall'equazione di Eulero). Potresti voler leggere il primo capitolo di Giorgi, The Physics of Waves per avere una spiegazione completa per questo.

(Nota che questa proprietà di trasformarsi in una copia ridimensionata e spostata nel tempo di se stessa su un intervallo che va da $t=-\infty$ per $t=+\infty$ è unica per le funzioni sinusoidali generalizzate - tutte le altre funzioni finiranno per essere "deformate" dal circuito lineare invariante. Soluzioni di un sistema lineare che sono copie in scala di se stesse come in $A \ x = \lambda \ x$ (dove $\lambda$ è uno scalare complesso che trasporta informazioni su attenuazione e sfasamento) sono chiamati soluzioni caratteristiche, o proprie, o eigen- dei dei sistemi. Possono essere usati per costruire una base ortogonale con la proprietà che qualsiasi altra funzione (ben educata) può essere scomposta come una somma generalizzata di tali mattoni elementari - e questo ti condurrà direttamente nel territorio della serie di Fourier, ma questa è un'altra storia).

Una spiegazione concisa viene fornita nella prima risposta a questa domanda su Math SE: Perché utilizziamo le funzioni di trigth nelle trasformate di Fourier e non altre funzioni periodiche?

Le funzioni di base di Fourier $e^{iωx}$ sono autofunzioni dell'operatore di turno $S_h$ che mappa una funzione $f(x)$ alla funzione $f(x−h)$ : $e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$ for all $x∈R$ .

— Sredni Vashtar
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"So, in the end, when you connect R, L and C in a network, a sinusoidal input will always lead to a sinusoidal output." with a notable exception of a resonant LC circuit with an output of 0 - not a sine wave.

— Glenn W9IQ

You mean A sin(w t + fi) for A=0 ? Still a sinusoid, just a bit too small to be appreciated. Same goes for placing two identical sinusoidal generators one against the other.

— Sredni Vashtar

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This is true only when restricting passive elements to R,L,C, and maybe crystals that are properly driven - and even then, there are two exceptions, see below. Intentional and unintentional diodes, varistors, thermistors with a thermal mass, and other non-linear elements can quickly introduce distortions to a pure sinusoidal inputs. Overdriven crystals or ceramic filters might also behave rather nonlinear. If including two-terminal elements with negative resistance (gas discharge tubes, tunnel diodes) in the passive category, even more possibilities exist.

The exceptions:

Real-world parts tend to have imperfections that make them behave a bit like some nonlinear elements. Resistors can have "thermistor with a thermal mass" and even "varistor" behaviour. Capacitors can have voltage dependency in their value due to piezoelectric effects, electric fields yielding mechanical force, chemical effects (in electrolytics). Also, some electret-like effects seem to be documented for capacitors. Metal to metal joints can develop diode-like behaviour. Inductors can become nonlinear through core saturation, interaction of the magnetic field with nearby metal objects, etc...

All resistive components carrying a current exhibit some noise generating behaviours, the lower limits of which are defined by hard physics.

Mind that all real-life seemingly non-sinusoidal, repetitive signals can be perfectly described as a sum of sine waves of varying frequencies and phases.

Looking for the connection to nature will have you going in circles: Sine waves are the principal ingredient in making circles and ovals and round things, according to maths geeks (if you want to draw a circle on a computer, you will usually either use sine/cosine functions or use pythagoras' theorem directly in some way...) . Nature makes a lot of round things (hair, plant stalks, cherries, cherry stains, tornadoes, etc) and keeps an ample supply of sine waves around for that purpose.

— rackandboneman
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Your answer was from before adding 'linear' to the question. Yes, in practice, most things do not behave perfectly linear. But also, perfect sinus signals are hard to find in the real world. The tomatoe is not a perfect circle, neither is planet Earth or its orbit. Practical signals are indeed nice to model using multiple sines.

— Roland

1

Actually a perfect sine is impossible to find in the real world. You need it to run from time

- \infty

$-\infty$ to

+ \infty

$+\infty$ and while the plus direction can be debatable, for the minus part we are limited to the age of the universe.

— Sredni Vashtar

I am aware that a time limited sine, in effect, has harmonics :)

— rackandboneman

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A 'circuit' is usually considered a network of components, with an 'input' and an 'output' port. With network theory, such as Ohms Law, you can derive an equation, the 'transfer function', that describes the output in terms of the input. With 'linear' components, you will always find a 'linear' transfer function.

Let's describe some linear components with functions like output = F(input), output2 = G(input2), etc. Then the combination of such components leads to a combined function like output2 = G(F(input1)). Because both functions are linear, thus of the form y = a * x + b, then those combinations are also linear.

When applying a sinusoidal input signal to the linear network, the output can be amplified by the factor a, and shifted by voltage b. With complex math, or differential equations you can even get 'phase shift', but not a different frequency, because the derivative of a sine has the same frequency.

Do you want this even more formal?

— Roland
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Either your premise is false or you have not properly articulated the boundary conditions.

Consider a simple passive device such as a diode. It will exhibit a non-linear transfer characteristic resulting in a non-sinusoidal output for a given

Also consider an ideal resonant (LC) circuit with a transfer function resulting in zero output - thus non-sinusoidal.

— Glenn W9IQ
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Yeah, now he's added linear to the question.

— pipe

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Actually, non-linear devices are more fun. With that simple diode you can e.g. demodulate radio signals (crystal receiver)

— Roland

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The eigenfunctions of linear time invariant systems (and passive networks generally are of that kind) are complex exponentials, and their real superpositions are sinoids of arbitrary phase.

An eigenfunction is a function which will only change by a constant (in this case, complex) factor when put through a system. Linear systems are those where the output corresponding to the sum of several inputs corresponds to the sum of the output of the individual inputs, so you can always analyze them by expressing their input as a convenient sum. If this sum can be a sum expressed in an orthogonal eigenfunction basis, things become so much easier.

Hello Fourier analysis.