Scarica di potenza costante di un condensatore non ideale

Il mio datore di lavoro vende convertitori boost per sostenere gli azionamenti del motore durante la perdita di potenza. Questi convertitori boost sono alimentati da banchi di condensatori. Per dimensionare correttamente questi banchi, dobbiamo tenere conto della loro tensione, capacità ed ESR, per garantire che vi sia abbastanza energia disponibile dai condensatori per sostenere gli azionamenti per un periodo di tempo specificato a una potenza specifica . In questo momento lo facciamo con un metodo di approssimazione, ma sarebbe bello avere un'equazione più esatta.

Supponiamo che ESR, capacità e potenza di carico siano costanti.

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Se ho ragione, questo mi dà un'equazione differenziale non lineare, che mi mette ben oltre la mia zona di comfort matematica. Se capisco correttamente, risolvere una nuova equazione differenziale non lineare si qualificherebbe come un contributo significativo nel campo delle conoscenze matematiche. Detto questo, è improbabile che lo risolvo da solo.

Qualcuno conosce qualche buon approccio per la risoluzione di V (t)? Qualcuno sa se questa equazione è già stata risolta? Sto forse fraintendendo il problema? O dovrei spostarlo nello Stack Stack matematico?

— Stephen Collings
fonte

Quanto devi essere preciso? La quantità di energia persa a ESR varierà in modo non lineare con la tensione di alimentazione, ma si possono facilmente calcolare i limiti superiore e inferiore per la quantità di energia che può essere raccolta dal cappuccio quando cade da una tensione a una tensione inferiore; minore è il calo in questione, più vicini saranno i limiti. Quindi se il limite inizia a 50 volt, si potrebbero calcolare i limiti superiore e inferiore per quanta energia verrebbe recuperata mentre cade da 50 a 40 volt. Se la differenza tra i limiti superiore e inferiore è troppo grande, si potrebbe calcolare l'energia ...

— supercat

... poiché scende da 50 a 45 e quindi da 45 a 40. Se lo spazio è ancora eccezionale con quelle dimensioni del gradino, suddividere ulteriormente. Se tutti i parametri fossero noti con precisione, probabilmente non si dovrebbe suddividere troppo per ottenere limiti superiori e inferiori entro il 20% circa l'uno dall'altro. Data una certa imprecisione nei parametri, probabilmente non sarebbe utile andare molto oltre.

— supercat

Davvero, suppongo che abbiamo tre domande. È risolvibile? Se é cosi, come? In caso contrario, qual è il prossimo approccio migliore? Stiamo cercando una soluzione esatta all'equazione, ma se non ce n'è uno, quello che descrivi potrebbe essere un buon piano di backup.

— Stephen Collings,

Potresti provare a modellare il tuo circuito come condensatore ideale, resistenza ESR e impedenza di carico in serie. Risolvendo le tensioni nodali e il flusso di corrente (che dovrebbero essere tutti linearmente indipendenti) è possibile trovare perdite ESR rispetto al consumo di energia del carico. L'unico stickler sarebbe stimare Z_L, anche se penso che dovresti essere in grado di capirlo calcolando indietro da quale potenza nominale e caduta di tensione accettabile ti aspetti che il tuo progetto abbia.

— helloworld922,

@Remiel: è comune modellare i condensatori del mondo reale come una combinazione di condensatori, resistori e induttori ideali, e un tale modello sarà più vicino alla realtà di uno che si aspettava semplicemente che un tappo reale si comportasse come un ideale, ma il " ideale non ideale "è ancora solo un'approssimazione. Nel mondo reale, ESR e capacità possono entrambi variare con la tensione in strani modi non lineari. Un'equazione che descrive con precisione il comportamento di un modello potrebbe non essere più accurata di una simulazione a tempo discreto nel predire il comportamento reale di un circuito reale.

— supercat

Le equazioni sono state risolte da altri qui . A meno che non mi sia sfuggito un segno da qualche parte, questa formula fornisce il tempo necessario a un cappuccio per raggiungere la tensione interna V, a partire dalla tensione , con un dato ESR e capacità, e una scarica fissa. $V_{0}$

t (V) = \frac{C}{4 P} (V_{0}^{2} - V^{2} + V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (\ln (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - \ln (V_{0} + \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

Si noti che poiché V è la tensione interna, non caricata del cappuccio, "dietro" l'ESR, per trovare il tempo necessario affinché il cappuccio raggiunga una tensione terminale specifica durante il caricamento , è necessario utilizzare la sostituzione: dove è la tensione terminale minima desiderata.

V = V_{m i n} + \frac{P R_{C}}{V_{m i n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$

V_{m i n}

$V_{min}$

Questi calcoli sembrano corrispondere perfettamente ai nostri metodi di stima numerica.

— Stephen Collings
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