Qual è la frequenza di "Nyquist" per il campionamento della derivata di un segnale?

Sfondo: sto campionando la corrente attraverso un condensatore. Il segnale di interesse è la tensione attraverso il condensatore. Integrerò digitalmente la misurazione della corrente per ottenere la tensione.

Domanda: dato che la tensione attraverso il condensatore è limitata dalla larghezza di banda e sto campionando la derivata di questa tensione, qual è la frequenza di campionamento minima richiesta per ricostruire perfettamente il segnale di tensione dai campioni attuali?

Se non esiste una risposta predefinita a questa domanda, tutto ciò che potrebbe indicarmi la giusta direzione sarebbe utile. Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto !!

Prendere una derivata (o un integrale) è un'operazione lineare - non crea frequenze che non erano nel segnale originale (o ne rimuove nessuna), cambia semplicemente i loro livelli relativi.

Quindi la velocità di Nyquist per la derivata è la stessa di quella del segnale originale.

Prendendo la derivata moltiplica la trasformazione per s, che ruota efficacemente il grafico della grandezza in senso antiorario. Pertanto, potrebbero essere componenti di frequenza più elevata nel derivato. Un modo più conciso per dirlo è che la derivazione amplifica il contenuto ad alta frequenza.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

Il derivato in questo caso ha chiaramente componenti a frequenza più elevata. Forse più correttamente, ha componenti ad alta frequenza molto più grandi rispetto al non derivato. Si potrebbe scegliere di campionare il primo segnale a 200 rad / s con una certa sicurezza, poiché l'energia è molto piccola alla velocità di nyquist, ma l'aliasing sarebbe sostanziale se si campionasse la derivata alla stessa velocità.

Pertanto, dipende dalla natura del segnale. La derivata di una sinusoide sarà una sinusoide della stessa frequenza, ma la derivata del rumore a banda limitata avrà componenti di frequenza più elevata del rumore.

EDIT: In risposta al downvote, martello questa casa con un esempio concreto. Fammi prendere un'onda sinusoidale e aggiungere un po 'di rumore normale casuale ad esso (un decimo della grandezza dell'onda sinusoidale)

Il punto di questo segnale è:

Ora, lasciami prendere la derivata del segnale:

e il fft del derivato

Il sottocampionamento, ovviamente, alias il segnale o la derivata. Gli effetti del sottocampionamento saranno modesti per il segnale e il risultato del sottocampionamento della derivata sarà assolutamente inutile.

Non puoi.

L'integrazione ti dirà solo come cambia la tensione durante il campionamento.

Il condensatore inizierà sempre con un po 'di carica presente, quindi ci sarà un po' di tensione iniziale. Il tuo calcolo non può conoscere quella tensione, quindi non può conoscere la tensione effettiva attraverso il condensatore durante il tempo di misurazione. Questo dovrebbe essere familiare dalle lezioni di matematica: ti integri sempre tra due punti.

Hai anche un problema che, sebbene i tuoi campioni di misura attuali siano limitati da Nyquist, la corrente effettiva attraverso il condensatore potrebbe non esserlo. A meno che non sia possibile garantire che la corrente attraverso il condensatore abbia un filtro passa basso rigido da qualche parte al di sotto del limite di Nyquist, non è mai possibile misurare la corrente in modo sufficientemente accurato per riprodurre la tensione. Devo essere chiaro che questo è in realtà matematicamente impossibile, perché richiederebbe una frequenza di campionamento dell'infinito.

Ma se si conosce la tensione di avvio e se la corrente effettiva attraverso il condensatore è opportunamente filtrata con filtro passa-basso, DaveTweed ha ragione che il limite di Nyquist per l'integrale è lo stesso dei dati campionati.