Perché la costante di tempo è 63,2% e non 50% o 70%?

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Sto studiando i circuiti RC e RL. Perché la costante di tempo è pari al 63,2% della tensione di uscita? Perché è definito come 63% e non come nessun altro valore?

Un circuito inizia a funzionare al 63% della tensione di uscita? Perché non al 50%?

— Bala Subramanian
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1-e ^ -1 = 0.6321 ...

— Andrew Morton,

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Coincide con 1 / larghezza di banda ed è il valore temporale nel ritardo

del primo ordine

o

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

. Nel decadimento radioattivo usano il 50% ("emivita").

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Chu,

1

@AndrewMorton: non sono del tutto sicuro di ciò che dice di me che ho indovinato che sarebbe stata la risposta solo dal titolo.

— Ilmari Karonen,

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@code_monk: interessante quanto

?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Animale nominale

3

Solo un pignolo: la costante di tempo non è definita al 63%. È definito come l'inverso del coefficiente nell'esponente di una funzione esponenziale (vedere le risposte eccellenti in questo thread). Di conseguenza, il valore della quantità dopo un intervallo di tempo pari alla costante di tempo è approssimativamente (con precisione a 2 cifre) pari al 63% del valore iniziale.

— Lorenzo Donati supporta Monica il

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Altre risposte non hanno ancora colpito su ciò che rende e speciale: la definizione della costante di tempo come il tempo necessario per qualcosa di cadere da un fattore e mezzi che in qualsiasi momento del tempo, il tasso di variazione sarà tale che-- se questo la frequenza era continuata - il tempo necessario per decadere a nulla sarebbe una volta costante.

Ad esempio, se uno ha un limite 1uF e una resistenza 1M, la costante di tempo sarà di un secondo. Se il condensatore viene caricato a 10 volt, la tensione diminuirà a una velocità di 10 volt / secondo. Se viene caricato a 5 volt, la tensione diminuirà a una velocità di 5 volt / secondo. Il fatto che la velocità di variazione diminuisca man mano che la tensione fa significa che la tensione non decadrà in nulla in un secondo, ma la velocità di diminuzione in qualsiasi momento nel tempo sarà la tensione corrente divisa per la costante di tempo.

Se la costante di tempo fosse definita come qualsiasi altra unità (ad esempio l'emivita), il tasso di decadimento non corrisponderebbe più così bene alla costante di tempo.

— Supercat
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3

Questa potrebbe essere la risposta migliore, in quanto risponde alla domanda " Perché? " In modo tangibile, invece di mostrare " come " calcolarla.

— Bort,

Fantastico, non posso credere di non averlo mai imparato! (A proposito, un grafico renderebbe questa risposta ancora più fantastica).

— Ripristina Monica il

1

È un'intuizione intuitiva eccellente. +1

— Spehro Pefhany,

1

"il tasso di diminuzione in qualsiasi momento nel tempo sarà la tensione attuale" Suppongo che mentre "corrente" in questo contesto è ambiguo, entrambi i significati funzionano.

— Accumulo

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@supercat - Ho aggiunto un grafico del tuo esempio. Sentiti libero di suggerire eventuali modifiche.

— Ripristina Monica il

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È incorporato nella matematica del decadimento esponenziale associato ai sistemi del primo ordine. Se la risposta inizia all'unità at = 0, quindi dopo una "unità di tempo", la risposta è . Quando guardi un risetime, lo sottragga dall'unità, dando 0,63212 o 63,2%. $e^{-1} = 0.36788$

L '"unità di tempo" viene definita "costante di tempo" del sistema e viene generalmente indicata con τ (tau). L'espressione completa per la risposta del sistema nel tempo (t) è

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Quindi la costante di tempo è una quantità utile da sapere. Se si desidera misurare direttamente la costante di tempo, si misura il tempo necessario per arrivare al 63,2% del suo valore finale.

In elettronica, risulta che la costante di tempo (in secondi) è uguale a R × C in un circuito RC o L / R in un circuito RL, quando si usano ohm, farad e henries come unità per i valori dei componenti. Ciò significa che se si conosce la costante di tempo, è possibile derivare uno dei valori del componente se si conosce l'altro.

— Dave Tweed
fonte

1

Per un decadimento o un aumento esponenziale dovremmo usare la risposta al gradino per ridurre la complessità. In modo che e − 1 sia preso in considerazione. Ho ragione?

— Bala Subramanian,

@BalaSubramanian: sì, giusto.

— Dave Tweed

Ma ho un dubbio, ad esempio nella progettazione di un circuito RC per timer o contatore. Si scarica e si carica in un determinato periodo di tempo. Il periodo di tempo è uguale alla costante di tempo. L'IC o il dispositivo richiesto smette di funzionare al 63% della tensione?

— Bala Subramanian,

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- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

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Il decadimento di un circuito parallelo RC con condensatore caricato a Vo

v (t) = $Vo(1-e^{-t/\tau})$ , dove $\tau$ è la costante di tempo R $\cdot$ C.

Quindi v ( $\tau$ ) / Vo è circa 0,63212055882855767840447622983854

In altre parole, la costante di tempo è definita dal prodotto RC (o rapporto L / R) e la tensione apparentemente arbitraria è il risultato di quella definizione e il modo in cui si verifica il decadimento esponenziale o la carica.

Il decadimento esponenziale è comune a vari processi fisici come il decadimento radioattivo, alcuni tipi di raffreddamento ecc. E può essere descritto da un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine (ODE).

Supponiamo di voler conoscere il momento in cui la tensione è 0,5 della tensione iniziale (o tensione finale se si carica da 0). È (da quanto sopra)

t = - $\ln(0.5)\tau$ o circa 0,693RC

In entrambi i casi, vengono visualizzati alcuni numeri irrazionali e relativi a RC = $\tau$ è il modo "naturale".

— Spehro Pefhany
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Questa è un'approssimazione molto approssimativa.

— Arsenale,

1

@Arsenal Potrei usare MATLAB e portarlo a poche migliaia di cifre decimali, se lo desideri.

— Spehro Pefhany,

2

@Arsenal, suppongo che il 22/7 non sia abbastanza buono per te? : D

— Wossname

3

22/7 è una terribile approssimazione di e. 19/7 è molto meglio.

— alephzero,

2

@SpehroPefhany (scritto a quell'approssimazione a cui ti sei collegato) Sono sempre stupito di come le persone in matematica amano passare il loro tempo (beh, immagino che i cruciverba siano troppo facili per loro! :-)

— Lorenzo Donati supporta Monica

3

Proprio come complemento alle altre eccellenti risposte di Dave Tweed, supercat e Spehro Phefany, aggiungerò i miei 2 centesimi.

First a bit of nitpicking, as I wrote in a comment, the time constant is not defined as 63%. Formally it is defined as the inverse of the coefficient of the exponent of an exponential function. That is, if Q is the relevant quantity (voltage, current, power, whatever), and Q decays with time as:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

Then the time constant of the decaying process is defined as $\tau = 1 / k$ .

As others have pointed out, this means that for $t = \tau$ the quantity has decreased by about 63% (i.e. the quantity is about 37% of the starting value):

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

What other answers have only marginally touched is why that choice has been made. The answer is simplicity: the time constant gives an easy way to compare the speed of evolution of similar processes. In electronics often the time constant can be interpreted as "reaction speed" of a circuit. If you know the time constants of two circuits it's easy to compare their "relative speed" by comparing those constants.

Moreover, the time constant is a quantity easily understandable in an intuitive way. For example, if I say that a circuit settles with a time constant $\tau = 1 \mu s$ , then I can easily understand that after a time $3\tau=3\mu s$ (or maybe $5\tau=5\mu s$ , depending on the accuracy of what you are doing) I can consider the transient ended ( $3\tau$ and $5\tau$ are the most common choices as rules of thumb for the conventional transient duration).

In other words the time constant is an easy and understandable way to convey the time scale on which a phenomenon occurs.

— Lorenzo Donati supports Monica
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-1

This comes from the $e$ constant value $1-e^{-1} \approx 0.63$ .

— Matthijs Huisman
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