Ho esaminato il libro di Ogata Modern Control Engineering e ho svolto diversi esercizi per migliorare la mia comprensione dei principi di controllo di base. Mi sono imbattuto nel seguente esempio che sto lottando per risolvere.

Devo inventare la funzione di trasferimento che modella questa maschera di vibrazione. Le domande sono le seguenti:

In questo esempio verrà analizzato un banco prova vibrazioni (Fig. 1). Questo sistema è costituito da una tabella di massa M e da una bobina la cui massa è m. Un magnete permanente fissato rigidamente al suolo fornisce un campo magnetico costante. Il movimento della bobina, 𝑦, attraverso il campo magnetico induce una tensione nella bobina proporzionale alla sua velocità, 𝑦̇, come in Eq. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [eq.1]

Il passaggio di corrente attraverso la bobina fa sì che subisca una forza magnetica proporzionale alla corrente come in Eq. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [eq.2]

Domanda: ottenere una funzione di trasferimento parametrico con l'uscita 𝑥 sull'ingresso 𝑉.

Alcune domande alle quali trovo difficile rispondere ma che riguardano l'intera TF sono:

Se K2 e B2 sono compressi da una distanza Z, (quando si sposta verso l'alto a
causa della bobina che interagisce con il campo magnetico), ciò significa che k1 e b1 sono estesi della stessa distanza Z?
Se m(bobina) si sposta verso l'alto di 2 cm, anche la M(tavola) si sposta verso l'alto di 2 cm?

Cosa devo fare:

Vieni con due diagrammi separati del corpo libero, uno per la massa M della tabella e uno per la massa m della bobina.
Disegna uno schema circuitale incluso l'emf posteriore.
Trasforma in s-domain.
Risolvi contemporaneamente.

Quello che ho fatto finora:

Disegna per separare i diagrammi del corpo libero ed estrarre equazioni.
Disegna lo schema circuitale ed estrai l'equazione.
Converti in dominio s.

Utilizzando la funzione MATLAB solvesono riuscito a ottenere 2 diverse funzioni di trasferimento del 5 ° ordine (una per ogni metodo che propongo di seguito), tuttavia, non sono sicuro di quale sia corretto e perché.

Sistema generale:

Questa è una rappresentazione schematica di come penso che la maschera di prova delle vibrazioni possa essere modellata, esclusa la parte elettrica.

Schema del corpo libero 1 - Tabella - Convenzione verso l'alto

Molle k1e k2ammortizzatori b1e b2sono modellati separatamente . Dal momento che non possono essere aggiunti insieme e visualizzati come uno, la loro compressione ed estensione sono separate.

La forza ascendente proviene da k2e b2che sono attaccate alla bobina. Questi stanno sperimentando un movimento verso l'alto.

Equazione nel dominio s:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Schema del corpo libero 2 - Bobina - Convenzione verso l'alto

La bobina sta sperimentando una forza verso l'alto, tuttavia la molla e l'ammortizzatore la trattengono, agendo quindi nella direzione opposta.

Equazione nel dominio s:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

I due diversi metodi mostrati sopra per l'FBD della tabella portano a equazioni diverse nel dominio s e funzioni di trasferimento diverse.

Qual è il diagramma del corpo libero corretto per la tabella e la bobina?

— rrz0
fonte

Bella domanda, ma per favore, pubblica una foto in cui i dettagli sono chiari senza costringerci a fare clic su di essa per ingrandirla. Ad esempio quei segni meno sono appena riconoscibili. Inoltre, l'equazione in basso a sinistra è stata parzialmente ritagliata. C'è molto spazio libero da usare sul tuo foglio per renderlo più grande. Esistono molti programmi gratuiti di modifica delle immagini su Internet (ad es. IrfanView o FastSstone ImageViewer), quindi puoi scattare anche diverse foto dei tuoi fogli e tagliare / ritagliare le parti che ti servono per pubblicare belle foto.

— Lorenzo Donati - Codidact.org il

@LorenzoDonati, grazie per il suggerimento, modificherà immediatamente. Per quanto riguarda l'equazione in basso a sinistra, ciò non è interessante poiché la mia preoccupazione è il diagramma del corpo libero. Se questo è corretto, l'equazione sarà corretta. Comunque proverò a modificare di conseguenza. Grazie per il tuo feedback

— rrz0,

Cerca di non fare ipotesi su cosa hai fatto di sbagliato. Pubblicare una serie di equazioni ben disegnate seguendo il tuo percorso di pensiero mostrerà i tuoi sforzi (e quindi migliorerà la tua domanda - dandogli maggiori possibilità di risposta) e potrebbe anche indicare possibili errori. Qualsiasi informazione pertinente riguardante il tuo problema a portata di mano potrebbe essere utile per il potenziale risponditore.

— Lorenzo Donati - Codidact.org,

A proposito, se sei a tuo agio con la sintassi LaTeX, l'editor di domande può capire la "notazione in dollari" delle formule LaTeX (vedi la guida in linea).

— Lorenzo Donati - Codidact.org

Grazie @LorenzoDonati, sto cercando di presentare la domanda in modo più strutturato e leggibile.

— rrz0,

Intro

M e m hanno solo un grado di libertà; entrambi possono muoversi solo verticalmente. La forza magnetica agisce direttamente sul magnete m, non sulla massa M.

$90^o$ $b_1$ $b_2$

Tavolo vibrante eccitato elettromagneticamente

Ora è chiaro che questa è una connessione in serie di masse con elementi dinamici tra loro, quindi iniziamo a scrivere le equazioni motorie da destra a sinistra, iniziando con l'equazione elettrica per m prima, che conterrà V, y e F.
Successivamente scriveremo l'equazione motoria per me per M.
Poiché M non è influenzata da una forza magnetica, quest'ultima equazione ci darà y in funzione di x, che verrà utilizzata nella prima equazione per mettere in relazione x V.

Elettrico

e = α \dot{y}, F = β io, V - e = R io + L \dot{io}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$

V - e = V - α \dot{y} = R io + L \dot{io} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

$y$ $F$ $V$

Il magnete

F + m \ddot{y} + B_{2} (\dot{y} - \dot{X}) + K_{2} (y - X) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$

V - α \dot{y} = V (S) - α S y = (R + L S) io = (R + L S) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$

F = \frac{β}{R + L S} (V (S) - α S y)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$

\frac{β V (S)}{R + L S} - \frac{α β}{R + L S} S y + m \ddot{y} + K_{2} (y - X) + B_{2} (\dot{y} - \dot{X}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$

\frac{β V (S)}{R + L S} - \frac{α β}{R + L S} S y + m S^{2} y + K_{2} (y - X) + B_{2} S (y - X) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$

m S^{2} y + (B_{2} - \frac{α β}{R + L S}) S y + K_{2} y - B_{2} S X - K_{2} X = - \frac{β V (S)}{R + L S}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

x

$x$

y

$y$

(m S^{2} + B_{2} S - \frac{α β S}{R + L S} + K_{2}) y - (B_{2} S + K_{2}) X = - \frac{β V (S)}{R + L S}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

Il tavolo mobile

M \ddot{X} + K_{1} X + B_{1} \dot{X} + K_{2} (X - y) + B_{2} (\dot{X} - \dot{y}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$

M S^{2} X + K_{1} X + B_{1} S X + K_{2} (X - y) + B_{2} S (X - y) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$

- B_{2} S y - K_{2} y + M S^{2} X + (B_{1} + B_{2}) S X + (K_{1} + K_{2}) X = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$

x

$x$

y

$y$

- (B_{2} S + K_{2}) y + {M S^{2} + (B_{1} + B_{2}) S + K_{1} + K_{2}} X = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$

y = \frac{M S^{2} + (B_{1} + B_{2}) S + K_{1} + K_{2}}{B_{2} S + K_{2}} X

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

insieme

$y=f(x)$ $x$ $y$ $V$

[(m S^{2} + B_{2} S - \frac{α β S}{R + L S} + K_{2}) \frac{M S^{2} + (B_{1} + B_{2}) S + K_{1} + K_{2}}{B_{2} S + K_{2}} - (B_{2} S + K_{2})] X = - \frac{β V (S)}{R + L S}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

$R+Ls$

[{(R + L S) (m S^{2} + B S + K_{2}) - α β S} \frac{M S^{2} + (B_{1} + B_{2}) S + (K_{1} + K_{2})}{B_{2} S + K_{2}} - (R + L S) (B_{2} S + K_{2})] X = - β V (S)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

$b_2s+k_2$

[{(R + L S) (m S^{2} + B S + K_{2}) - α β S} {M S^{2} + (B_{1} + B_{2}) S + (K_{1} + K_{2})} - (R + L S) (B_{2} S + K_{2})^{2}] X = - (B_{2} S + K_{2}) β V (S)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

Dall'ispezione visiva segue che possiamo aspettarci una funzione di trasferimento $x(s)/V(s)$ con un ordine massimo di 1 nel nominatore e di 5 nel denominatore. È possibile che uno zero si annulli con un polo, ma questo è speculativo e richiederebbe un po 'più di riscrittura per scoprirlo.

— joe electro
fonte

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— Dave Tweed,

Individuazione della funzione di trasferimento del sistema Spring Damper System