Il libro è sbagliato sul criterio di campionamento di Nyquist?

La seguente affermazione di un libro è errata?

Ho pensato che il campionamento con il doppio della componente di frequenza più alta del segnale sarebbe stato adeguato per recuperare completamente il segnale. Ma sopra dice che il campionamento due volte crea un'onda a dente di sega. Il libro è sbagliato?

Ho pensato che il campionamento con il doppio della componente di frequenza più alta del segnale sarebbe stato adeguato per recuperare completamente il segnale. Ma sopra dice che il campionamento due volte crea un'onda a dente di sega. Il libro è sbagliato?

Il libro è sbagliato, ma non per il motivo che pensi. Se strizzi gli occhi ai punti che indicano i campioni, sta campionando al doppio della frequenza che dice.

Quindi, prima, dovresti disegnare alcuni segnali e campionarli tu stesso (o usare un pacchetto matematico, se non sei in grado di scrivere su carta e matita).

In secondo luogo, il teorema di Nyquist afferma che è teoricamente possibile ricostruire un segnale se si sa già che lo spettro del contenuto del segnale è strettamente inferiore alla metà della frequenza di campionamento.

Ricostruisci il segnale filtrandolo passa-basso. Prima di filtrare, il segnale può essere distorto, quindi devi sapere cosa stai guardando per vedere che il risultato potrebbe apparire OK. Inoltre, più lo spettro del contenuto del segnale è vicino al limite di Nyquist, più nitido deve essere il cutoff nei filtri anti-alias e di ricostruzione. Questo va bene in teoria, ma in pratica la risposta di un filtro nel dominio del tempo si allunga approssimativamente in proporzione a quanto bruscamente passa dalla sua banda passante alla sua banda di arresto. Quindi, in generale, se puoi, assaggi molto al di sopra di Nyquist.

Ecco una foto che accompagna ciò che il tuo libro avrebbe dovuto dire.

Caso A: un campione per ciclo (campioni resi evidenti)

Caso B: due campioni per ciclo, atterrando sulle intersezioni - si noti che questo è lo stesso output del caso di un campione per ciclo, ma solo perché ho campionato il primo agli incroci.

Caso C: Ancora due campioni per ciclo, ma questa volta agli estremi. Se campionate esattamente al doppio della frequenza del componente del segnale, non potete ricostruire. In teoria potresti campionare leggermente più in basso, ma avresti bisogno di un filtro con una risposta all'impulso che copra abbastanza il risultato in modo da poterlo ricostruire.

Caso D: campionamento a 4x della frequenza del segnale. Se colleghi i punti ottieni un'onda triangolare, ma non è corretto farlo - nel tempo campionato, i campioni esistono solo "ai punti". Si noti che se si inserisce questo attraverso un filtro di ricostruzione decente, si otterrà un'onda sinusoidale indietro e se si modifica la fase del campionamento, l'uscita verrà spostata equamente in fase, ma la sua ampiezza non cambierà.

L'immagine B è estremamente sbagliata. Contiene angoli molto acuti nel segnale di uscita. Gli angoli molto acuti equivalgono a frequenze molto alte, molto più alte della frequenza di campionamento.

Per soddisfare i teoremi di campionamento di Nyquist, è necessario filtrare il segnale ricostruito passa-basso. Dopo il filtro passa basso, il segnale B sembrerebbe il segnale di ingresso, non come un triangolo (poiché tutti gli angoli acuti non possono passare il filtro passa basso).

Per l'esattezza, è necessario passare in basso sia il segnale in ingresso che il segnale in uscita. Il segnale in ingresso deve essere filtrato passa-basso fino a metà della frequenza di campionamento massima per non "piegare" le frequenze più alte.

Purtroppo, è una falsa rappresentazione comune di come funziona il campionamento. Una descrizione più corretta utilizzerà la funzione sinc per la ricostruzione (consiglio una ricerca della funzione sinc).

Nelle applicazioni del mondo reale è impossibile avere un filtro passa-basso "perfetto" (passando tutte le frequenze sotto e bloccando tutto sopra). Ciò significa che normalmente si campionerebbe con una frequenza almeno 2,2 volte la frequenza massima che si desidera riprodurre (esempio: qualità del CD campionata a 44,1 kHz per consentire una frequenza massima di 20 kHz). Anche questa differenza renderebbe difficile la creazione di filtri analogici: la maggior parte delle applicazioni del mondo reale "sovracampiona" così come il filtro passa-basso in parte nell'area digitale.

Il teorema di campionamento afferma che il segnale può essere perfettamente ricostruito se la frequenza di campionamento è strettamente maggiore del contenuto di frequenza più alta nel segnale. Ma quella ricostruzione si basa sull'inserimento di impulsi sinc (infiniti) in ciascun campione. Da un punto di vista teorico questo è un risultato molto importante, ma in pratica impossibile da raggiungere esattamente. Ciò che è descritto nella pagina del libro è un metodo di ricostruzione basato sul disegno di linee rette tra i campioni, che è qualcosa di completamente diverso. Quindi, direi che il libro è corretto, ma non ha nulla a che fare con il teorema del campionamento.

Un eccellente documento di sintesi è Unser: Sampling - 50 anni dopo Shannon . Il tuo problema deriva dal fatto che segnali sinusoidali puri e infiniti non sono coperti dal teorema del campionamento di Shannon. Il teorema applicabile per i segnali periodici è il precedente teorema di campionamento di Nyquist.

Il teorema del campionamento di Shannon si applica alle funzioni che possono essere rappresentate come

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

dove X è una funzione integrabile quadrata. Quindi questo segnale può essere rappresentato esattamente da campioni discreti come

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Una funzione seno pura non è contenuta in quella classe, poiché la sua trasformata di Fourier è composta da distribuzioni Dirac-delta.

Il teorema di campionamento di Nyquist precedente afferma (o reinterpreta un'intuizione precedente) che se il segnale è periodico con il periodo T e la frequenza più alta W = N / T , allora è un polinomio trigonometrico

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

con coefficienti 2N + 1 (non banali) e questi coefficienti possono essere ricostruiti (mediante algebra lineare) da 2N + 1 campioni nel periodo.

Il caso di una pura funzione seno rientra in questa classe. Promette perfetta ricostruzione se 2N + 1 campioni per un tempo NT vengono prese.

Ciò che è stato condiviso dal libro non dice nulla sul "criterio di campionamento di Nyquist" - si tratta solo di campionare punti un'onda sinusoidale con un ipotetico ADC e quindi (implicitamente) costruire un segnale di uscita usando un (non menzionato) DAC semplice che esegue un'interpolazione lineare tra i valori del campione.

Alla luce di tale contesto, l'affermazione di tesi di "FIGURA 6.10" è generalmente corretta e ben dimostrata.

All'aumentare della frequenza di campionamento dell'ADC, migliora la fedeltà del segnale digitalizzato.

Se volessi parlare della fedeltà di una ricostruzione idealizzata , è una questione completamente diversa. Qualsiasi discussione sul tasso di Nyquist implica l'uso di un'interpolazione sincera che, di nuovo, non è menzionata nella figura mostrata.

Il vero difetto di questa figura è l'idea che un punto campione sia un concetto significativo in ingegneria. In pratica, un ADC sarà collegato a un componente del sensore che funziona accumulando un segnale di ingresso del mondo reale per un certo periodo di tempo.

È divertente, tuttavia, che questa cifra sia apparentemente sbagliata (a parte un fattore due) per quanto riguarda le frequenze di campionamento specifiche mostrate nei diagrammi - sebbene "Output" mostrato sia influenzato da questo solo nel caso 'C'.

Usando la frase sopra citata, ho trovato un diagramma stranamente simile in "Un approccio pratico al monitoraggio intraoperatorio neurofisiologico" in una discussione sull'elaborazione della forma d'onda EEG. Per quello che vale, quella discussione include quanto segue:

Il teorema che descrive la frequenza di campionamento minima richiesta affinché un ADC rappresenti fedelmente un segnale analogico è noto come teorema di Nyquist. Indica che la frequenza di campionamento di un ADC deve essere maggiore di due volte quella della componente di frequenza più veloce di una forma d'onda.