Perché aumentare la frequenza di campionamento semplifica l'implementazione di un filtro anti-aliasing?

Da una risposta a una domanda relativa alla frequenza di campionamento e al filtro anti-aliasing ho letto quanto segue:

Più ti avvicini alla frequenza di campionamento minima teorica, più difficile diventa praticamente il filtro analogico da realizzare.

Se non sbaglio, dice che se la nostra frequenza di campionamento è vicina alla frequenza di campionamento minima teorica richiesta, sarà più difficile progettare il filtro antialiasing analogico.

Sono sicuro che abbia senso per molti, ma non sono riuscito a capire cosa significhi qui e perché sia ​​così. Questo potrebbe essere spiegato con un esempio in un modo più semplice?

Quando si riduce la frequenza di campionamento, si riduce la separazione tra le immagini nel dominio della frequenza.

fonte

Ricorda che la ripetizione dello spettro si verifica alla frequenza di campionamento. Quando le immagini sono più vicine, è necessario ottenere una maggiore attenuazione nel filtro antialiasing. Il filtro deve passare dalla banda passante per arrestare la banda prima che si verifichi l'immagine successiva.

fonte da questa presentazione

Per ricostruire un segnale nel regno digitale dal regno analogico sono necessari almeno due campioni in ciascun ciclo della frequenza più alta presente nel segnale analogico. Ad esempio, sui CD, usano 44,1 kHz per campionare una frequenza massima nella banda audio di 20 kHz. Avrebbero potuto usare 40 kHz ma questo è giusto al limite e il filtro anti alias sarebbe impossibile.

Con una frequenza di campionamento di 44,1 kHz, il segnale audio di frequenza teoricamente più elevato che potrebbe essere catturato digitalmente senza aliasing sarebbe di 22 kHz. Quindi cosa accadrebbe se 24 kHz si alimentassero al sistema di campionamento digitale a 44,1 kHz che potresti chiedere.

Ciò aliaserebbe in un segnale di 20 kHz nel regno digitale e potrebbe peggiorare. E se il segnale fosse di 30 kHz? Questo diventerebbe 16 kHz nel regno digitale.

Questo perché il sottocampionamento crea un output con alias: -

Foto da qui .

Per evitare ciò, si utilizza un filtro che fornisce un'attenuazione adeguata tra 20 kHz e 24 kHz. Dico 24 kHz perché un segnale di 24 kHz ha ragione sul limite di diventare un segnale audio reale da 20 kHz con alias. Quindi, per quelle persone con un udito eccellente fino a 20 kHz (non più me), il filtro anti-alias deve fornire un'attenuazione praticamente zero a 20 kHz e forse un'attenuazione fino a 80 dB (o più) a 24 kHz.

Si tratta di un filtro di ordine piuttosto elevato e la maggior parte degli ingegneri che si occupano di sistemi come questo preferirebbe un rapporto più simile a 3: 1 per la frequenza di campionamento alla massima frequenza analogica.

Il filtro antialias ha tre bande

1) Passband, da DC fino a Fwanted
2) Stopband, da Fsample-Fwanted fino a infinito
3) Band di transizione, da Fwanted a Fsample-Fwanted

Il costo di un filtro (numero di stadi, componente Q, numero di moltiplicatori) è approssimativamente proporzionale al reciproco della banda di transizione e aumenta con la profondità in dB della banda di arresto.

Più alto è il campione, più ampia è la banda di transizione e più economico è il filtro

Supponiamo che la frequenza di campionamento sia$f_s$

Quindi, secondo Nyquist, posso campionare segnali con un contenuto di frequenza fino a e usare i dati campionati per ricostruire accuratamente il mio segnale.$f_s/2$

Cosa succede se il mio segnale non "si ferma" su , quindi questi segnali sopra disturberanno il campionamento e il mio segnale ricostruito non sarà più lo stesso. Questo effetto è chiamato aliasing .$f_s/2$$f_s/2$

Quindi questi segnali sopra devono essere filtrati usando un filtro anti-aliasing.$f_s/2$

Tuttavia non vogliamo che quel filtro influisca sui segnali !$f_s/2$

Quindi il filtro deve idealmente:

Non fare nulla quando$f < f_s/2$

ma

blocca tutto quando$f > f_s/2$

È impossibile da fare! Quindi deve esserci un compromesso.

Quando la frequenza più alta nel tuo segnale è vicina a allora avresti bisogno di un filtro impossibile per non influire sulle frequenze del tuo segnale vicine a$f_s/2$$f_s/2$

Le cose diventano molto più facili se:

Limitare le frequenze del segnale a frequenze molto più piccole di$f_s/2$

o

abbiamo aumentare la frequenza di campionamento in modo che estremità fino ad una frequenza molto più elevata.$f_s/2$

Quindi "separiamo" la frequenza del segnale più alta e la frequenza .$f_s/2$

Ciò "crea spazio" per il filtro anti-aliasing in quanto la frequenza alla quale il filtro non dovrebbe fare nulla (frequenza del segnale più alta) e la frequenza alla quale tutto dovrebbe essere bloccato ( ) sarà ulteriormente separata.$f_s/2$

Supponiamo che la tua banda di interesse sia da DC a 100Hz e che il tuo segnale abbia un rumore bianco limitato a 10kHz. Ora, supponiamo che tu decida di campionare a 2kHz. Puoi costruire un bel filtro per il conteggio dei poli bassi con un'attenuazione di 20 dB / decennio e attenuare il rumore per minimizzare l'aliasing

Ora, supponiamo che tu voglia campionare a 210Hz. È necessario creare un filtro di ordine elevato per ottenere un'attenuazione sufficiente. Tali filtri sono più difficili e più costosi da progettare e costruire. Se riesci a farlo bene, ricevi un segnale con sostanziale distorsione di fase nella banda passante.

Per il filtro analogico, è necessario considerare le prestazioni del filtro nell'intervallo della più alta frequenza di interesse. Spesso questo significa che è necessario impostare "fc" per il filtro analogico un po 'più in alto della più alta frequenza di interesse (e / o usare un filtro più nitido).

Per evitare l'aliasing, è necessario campionare con una frequenza almeno doppia rispetto a quella del componente più elevato che passerà attraverso il filtro a un livello massimo a cui è possibile tollerare l'inquinamento dal segnale aliasato. Ciò significa che la frequenza di campionamento è almeno due volte fc e spesso deve essere un po 'più alta.

Quindi, ora, lavorando all'indietro, una frequenza di campionamento più alta, significa che puoi avere un fc più alto, e ciò significa che puoi avere più facilmente una risposta piatta fino ad una frequenza di interesse inferiore a fc.

Ma . come probabilmente saprai, il rumore aumenta con la larghezza di banda. Pertanto, per un'applicazione a basso rumore, potrebbe essere necessario impostare la larghezza di banda del filtro in modo conservativo.