Perdita di calore nella carica ideale del condensatore

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Se utilizziamo un condensatore ideale per caricare un altro condensatore ideale, la mia intuizione mi dice che non viene generato calore poiché i condensatori sono solo elementi di accumulo. Non dovrebbe consumare energia.

Domanda originale

Ma per risolvere questa domanda, ho usato due equazioni (conservazione della carica e uguale tensione per entrambi i condensatori in equilibrio) per scoprire che l'energia era effettivamente andata persa.

Il mio diagramma

La mia soluzione

Qual è il meccanismo con cui si perde il calore in questo caso? È l'energia necessaria per avvicinare le cariche su C1? È energia spesa per accelerare le cariche, per farla muovere? Ho ragione nel sostenere che non viene generato "calore"?

Ho notato che l'energia persa è uguale a quella immagazzinata nella capacità della serie "equivalente" se caricata a $V_0$ . C'è qualche ragionamento per cui è così?

Capacità parallela

— Aditya P
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Hai letto: en.wikipedia.org/wiki/Two_capacitor_paradox . A mio parere personale non è elencata la risposta corretta. Secondo me la risposta corretta è "0" (zero) in quanto non vi sono elementi nel circuito in grado di dissipare energia. Quindi sì, sono d'accordo con il tuo intuito. Penso anche che sia una stupida idea fare una domanda (di studio) su questo controverso paradosso. Fondamentalmente devi solo sapere quale risposta si aspetta l'insegnante e sceglierla. Nessuno impara nulla da quello.

— Bimpelrekkie,

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@Bimpelrekkie grazie! Quel link sarà davvero di aiuto. Sono d'accordo anche con te.

— Aditya P,

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Come sottolinea correttamente @Huisman, questa è una domanda senza senso. Il circuito che hai disegnato viola le nostre definizioni di elementi ideali del circuito a causa di una contraddizione incorporata: gli elementi paralleli devono avere la stessa tensione ma la tensione attraverso un condensatore non può cambiare istantaneamente. Pertanto, il collegamento di due condensatori in parallelo con tensioni diverse è un circuito non valido e non può essere analizzato con le normali tecniche del circuito. Prendi un altro libro.

— Elliot Alderson,

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@BenVoigt Uno schema è uno strumento di disegno ideale con elementi di base, uno dei quali è il filo ideale. Per indicare parassiti come la resistenza del filo, deve essere indicato con un resistore ideale. Qualsiasi altra cosa è un abuso di notazione egregio e impreciso che porta ad ambiguità. Huisman dà la risposta corretta.

— Shamtam,

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@BenVoigt Gli studenti che apprendono l'analisi del circuito presumono sempre che i componenti siano ideali ... altrimenti non è possibile analizzare matematicamente il circuito. Questa domanda riguardava chiaramente un problema di compiti a casa e deve avere una risposta dal punto di vista dello studente.

— Elliot Alderson,

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Il problema con questi esempi teorici sta nel fatto che la corrente è considerata infinita per 0 secondi . Sostituendo rozzamente questo nella legge sulla conservazione:

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0

$\frac {\partial \rho }{\partial t} +\nabla \cdot \mathbf {J} = 0$

\frac{ρ}{0} + \infty \neq 0

$\frac { \rho }{ 0 }+ \infty \neq 0$

Poiché la carica viene conservata, l'assunzione della corrente infinita nel tempo zero è errata.

Quanta potenza viene dissipata $P_{diss}=VI$ non può essere definito, poiché la definizione della corrente è falsa.

Quindi, la risposta è: non può essere definita

$\Omega$ $P = I^2R = \infty^2 \cdot 0$

— Huisman
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Sì. Questa è l'unica risposta corretta.

— Elliot Alderson,

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La potenza persa non può essere calcolata, ma la perdita di energia può.

— Ben Voigt,

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Puoi far funzionare la legge sulla conservazione con il delta di Dirac. Non è possibile aggiungere l'infinito all'insieme reale / complesso e aspettarsi che il calcolo continui a funzionare. Rende il set non parzialmente ordinato. Se non è parzialmente ordinato, nessun lemma di Zorn, che significa nessun assioma di scelta.

— user110971,

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Quando le masse si scontrano in maniera anelastica, lo slancio viene preservato ma l'energia deve essere persa. È lo stesso con il paradosso a due condensatori; la carica è sempre conservata ma, l'energia viene persa nel calore e nelle onde EM. Il nostro modello schematico del circuito semplice non è sufficiente per mostrare i meccanismi più sottili in gioco come la resistenza di interconnessione.

Si può dire che una collisione elastica equivale all'aggiunta di induttori in serie nei fili. Da qualche parte tra i due c'è la realtà: le connessioni sono composte da resistori e induttori; il fatto che il nostro schema non possa mostrarli è solo una debolezza della nostra immaginazione.

— Andy aka
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L'ho notato anch'io, nell'altra risposta che hai scritto. Forse dovresti provare a contattare stackexchange, possono trovare l'utente che ti sta prendendo di mira. Dovresti davvero segnalarlo.

— Aditya P,

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Avere un voto :)

— Sombrero Chicken,

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Ho votato verso il basso questa risposta perché non pensavo che rispondesse alla domanda originale. Mi è sembrato che ti avventurassi in una discussione sulla fisica delle particelle e delle onde che non ha aiutato l'OP. E penso che ci sia una ragione per cui sono ammessi voti anonimi. Ora, hai molta più reputazione di me, quindi vai avanti, fai del tuo peggio. Ho votato molte altre tue risposte in passato, ma non mi preoccuperò più. Segnalami se necessario.

— Elliot Alderson,

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@ElliotAlderson Non riporto nulla che osservo e commento. Non ho mai menzionato la fisica delle particelle o delle onde. Ho fatto un confronto con le masse in modo newtoniano, ovvero la conservazione della quantità di moto è molto simile alla conservazione della carica.

— Andy alias

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il fatto che il nostro schema non possa mostrarli è solo una debolezza della nostra immaginazione. Ehm, penso che sia o la sciatta elaborazione di domande, o un tentativo di illustrare il divario tra circuiti ideali e circuiti reali. L'analogia delle collisioni è una buona fisica, le unità e i meccanismi sono giusti, in particolare l'energia totale prima meno dopo lascia un deficit che è indipendente dai mezzi di dissipazione, ad esempio il componente non disegnato potrebbe essere stato un trasformatore primario con un'antenna e un resistenza alle radiazioni su di esso. Come disegnato, il circuito è un paradosso, sbagliato, SPICE ci

— soffocerebbe

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Qual è il meccanismo con cui si perde il calore in questo caso?

Normalmente, i fili e gli interruttori hanno una certa resistenza. Poiché la corrente scorre attraverso i fili, viene prodotto calore.

Ho notato che l'energia persa è uguale a quella immagazzinata nella capacità della serie "equivalente" se caricata a V0. C'è qualche ragionamento per cui è così?

Se si carica un condensatore "ideale" in cui la carica e la tensione sono proporzionali, il 50% dell'energia verrà convertita in calore.

Tuttavia, se si dispone di condensatori "reali" in cui la carica e la tensione non sono esattamente proporzionali (per quanto ne so questo è il caso dei DLC) la percentuale di energia che viene convertita in calore NON è esattamente del 50%.

Ciò significa che la chiave della tua osservazione sta nel nell'equazione dei condensatori (q ~ v) e non esiste una spiegazione "intuitiva" indipendente da tale equazione.

(Se ci fosse una spiegazione indipendente dall'equazione, la percentuale sarebbe anche del 50% per i condensatori "reali".)

— Martin Rosenau
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Devo andare con "La domanda non è valida".

Sembra che il problema sia stato modificato da uno precedente a una domanda diversa.

Le "risposte" hanno tutte unità di Q ^ 2 * C / C ^ 2 o Q / C.

Sono passati 40 anni da quando ho avuto quella classe EE, ma non è quella tensione? Come si risponde a una domanda "dissipata dal calore" con unità di tensione?

— PBM
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Q^{2}

$Q^2$

\frac{Q^{2}}{C} = Q Δ V

$\frac{Q^2}{C} = Q \Delta V$

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Apparentemente perso nel mio cervello. Giusto quindi le unità sono q ^ 2 / C. Che diamine è quell'unità? E il vincitore è Joules. Quindi probabilmente ho bisogno di sottovalutare la mia risposta.

— pbm

Q^{2} / C

$Q^2/C$

C^{2} / F = C^{2} / (C / V) = C V = J

$\text{C}^2/\text{F} = \text{C}^2/(\text{C}/\text{V}) = \text{C} \, \text{V} = \text{J}$ , cioè di joule, che è un'unità di energia. Puoi ricavare alcune delle unità equivalenti che ho usato o leggere en.wikipedia.org/wiki/Farad#Equalities e en.wikipedia.org/wiki/Joule

— Alejandro Nava

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EDIT: A quelli di voi a disagio con me proclamarlo $R = 0$ alla fine, è analogo considerare la resistenza dell'aria infinita. E se sei ancora a disagio, leggi "infinito" come "davvero molto grande" e "zero" come "davvero molto piccolo".

C'è una corrente infinita che fluisce attraverso la resistenza zero e questo si traduce in un'energia finita che viene dissipata nel filo . Per dare un senso a questo, dobbiamo fare un po 'di calcolo . Supponiamo che ci sia anche una resistenza $R$ nel circuito, che dovremo impostare a zero alla fine.

Permettere $V_0 = q_0 / C_1$ . Facendo la solita trasformata di Laplace per i circuiti, la corrente trasformata $I(s)$ è dato da

\begin{aligned} \frac{V_{0}}{S} & = io (S) [R + \frac{1}{S C_{1}} + \frac{1}{S C_{2}}] \\ = io (S) [R + \frac{1}{S C}] \end{aligned}

$\begin{align} \frac{V_0}{s} &= I(s) \left[ R + \frac{1}{s C_1} + \frac{1}{s C_2} \right] \\ &= I(s) \left[ R + \frac{1}{s C} \right] \\ \end{align}$ dove

1 / C = 1 / C_{1} + 1 / C_{2}

$1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ . così

\begin{aligned} io (S) & = \frac{V_{0} / S}{R + 1 / (S C)} \\ = \frac{V_{0} / R}{S + 1 / (R C)} \\ io (t) & = \frac{V_{0}}{R} \cdot e^{- t / (R C)} . \end{aligned}

$\begin{align} I(s) &= \frac{V_0 / s}{R + 1 / (s C)} \\ &= \frac{V_0 / R}{s + 1 / (R C)} \\ i(t) &= \frac{V_0}{R} \cdot \mathrm{e}^{-t / (R C)}. \end{align}$ La potenza istantanea dissipata è

\begin{aligned} P (t) & = io (t)^{2} \cdot R \\ = \frac{{V_{0}}^{2}}{R} \cdot e^{- 2 t / (R C)} \end{aligned},

$\begin{align} P(t) &= i(t)^2 \cdot R \\ &= \frac{{V_0}^2}{R} \cdot \mathrm{e}^{-2t / (R C)} \end{align},$ e quindi l'energia totale dissipata è

\int_{0}^{\infty} \frac{{V_{0}}^{2}}{R} \cdot e^{- 2 t / (R C)} d t = \frac{1}{2} C {V_{0}}^{2} = \frac{{q_{0}}^{2} C_{2}}{2 C_{1} (C_{1} + C_{2})} .

$\int_0^\infty \frac{{V_0}^2}{R} \cdot \mathrm{e}^{-2t / (R C)} \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} C {V_0}^2 = \frac{{q_0}^2 C_2}{2 C_1 (C_1 + C_2)}.$ Si noti che questo è indipendente da $R$ e direi che vale anche per $R = 0$ .

Davvero ambientazione $R$ to zero in the context of generalised functions, we have that

\begin{aligned} i (t) & = C V_{0} \cdot δ (t) \\ P (t) & = \frac{1}{2} C {V_{0}}^{2} \cdot δ (t), \end{aligned}

$\begin{align} i(t) &= C V_0 \cdot \delta(t) \\ P(t) &= \frac{1}{2} C {V_0}^2 \cdot \delta(t), \end{align}$ where

δ (t)

$\delta(t)$ is the Dirac delta (or unit impulse) in time, which has dimensions

1 / time

$1/\text{time}$ . Thus all of the energy is dissipated in the instant

t = 0

$t = 0$ .

If R=0 then where does the dissipated energy go? Specifically, how is it converted to heat as the question asks? How can you derive equations assuming nonzero R and then set R to zero?

— Elliot Alderson

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@ElliotAlderson: The actual case of R = 0 is a red herring. Even in "real circuits", we don't assume that R = 0 in wires. We assume that R is non-zero but "negligible", which is not the same thing (and it's an assumption that can get us into trouble sometimes). What this derivation shows is that no matter how small R is, so long as it's non-zero, the power dissipated is always the same.

— Michael Seifert

@MichaelSeifert Yes, what you said! so long as it's non-zero That was my point exactly.

— Elliot Alderson

@ElliotAlderson The energy is dissipated as heat in the wire. Although

R = 0

$R = 0$ ,

i^{2} = \infty

$i^2 = \infty$ at

t = 0

$t = 0$ is large enough that the indeterminate expression

i^{2} R

$i^2 R$ yields a finite energy when integrated over time. Assuming things are nonzero and setting them to zero is, well, calculus. For an analogy, a mass

m \neq 0

$m \ne 0$ in a gravitational field of strength

g

$g$ has weight

m g

$m g$ and thus acceleration

a = m g / m = g

$a = m g / m = g$ . But even massless objects (

m = 0

$m = 0$ ) fall with acceleration

g

$g$ .

@lastresort From what I read, within the newtonian framework massless particles do not experience g. It is due to the how gravity bends space that massless objects experience g.

— Aditya P