Modellazione matematica del circuito RC con un ingresso lineare

Ho trovato molti documenti e libri che modellano il comportamento della tensione attraverso un condensatore all'interno di un circuito transitorio RC, usando la seguente equazione:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Sfortunatamente, non ho trovato alcuna risorsa che discute su come modellare matematicamente un circuito RC, se uno fosse in grado di fornire una sorgente di tensione che aumenta linearmente come input.

Il tentativo di sostituire VMAX nell'equazione sopra, per un'equazione lineare, si traduce in un'equazione che converge verso l'equazione lineare, il che significa che la corrente cesserebbe dopo un tempo (I = (VS-VC) / R). Questo è ovviamente falso, dal momento che dovremmo vedere l'approccio attuale un valore costante nel tempo, come dato da:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Sono pienamente consapevole di come la tensione attraverso un condensatore si comporterebbe con una sorgente di tensione che aumenta linearmente, ci sono molti simulatori che lo mostrano e posso persino pensare a una spiegazione fisica dei risultati. Ciò che desidero sapere è come si possa modellare matematicamente la tensione attraverso un condensatore con una sorgente di tensione che aumenta linearmente, in modo simile all'equazione che modella la tensione attraverso un condensatore in transitori.

Sfortunatamente, non ho trovato alcuna risorsa che discute su come modellare matematicamente un circuito RC, se uno fosse in grado di fornire una sorgente di tensione che aumenta linearmente come input.

Questa risposta riguarda il convertire il circuito in una funzione di trasferimento nel dominio della frequenza, quindi moltiplicare quel TF con la trasformata di Laplace dell'ingresso per ottenere l'equivalente nel dominio della frequenza dell'uscita. Infine, viene eseguita un'operazione inversa di Laplace per ottenere la formula del dominio del tempo per l'output.

La trasformata di Laplace di un filtro RC passa basso è: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Questa è la funzione di trasferimento del dominio della frequenza, quindi, se la moltiplichi per l'equivalente nel dominio della frequenza di una rampa ($\dfrac{1}{s^2}$) ottieni l'output del dominio della frequenza: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

Utilizzando una tabella di trasferimento inversa, questo ha un output nel dominio del tempo di: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Vedi l'articolo 32 sul tavolo o, se la formula non aveva un'evidente voce nella tabella, puoi usare un calcolatore inverso per laplace che lo risolve numericamente come questo .

La calcolatrice consente di creare la formula e immettere un valore numerico per RC. Ho usato un valore RC 7 nell'esempio sopra in modo da poter vedere come quel numero si è propagato alla risposta finale. L'ultimo ostacolo sta sostituendo quel valore propagato di 7 con RC. In altre parole è un risolutore numerico ma comunque uno strumento molto utile da avere a portata di mano: -

Per un segnale di ingresso generale e un sistema del primo ordine, è possibile risolvere l'equazione differenziale tramite il fattore di integrazione, $\small (IF)$, metodo * o trasformata di Laplace, tra gli altri. L'analisi seguente utilizza il$\small IF$ metodo.

$^*$Vedi modifica, di seguito, per una spiegazione del metodo del fattore di integrazione .

Dato il circuito che descrivi, l'equazione del loop è:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

differenziare:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Riorganizzare:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Notandolo $\small \tau=RC$:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Nel tuo caso particolare, $v_i$ è una rampa, quindi: $v_i= \small Kt$, dove $\small K$ è la pendenza della rampa.

Quindi $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$e l'equazione che deve essere risolta da $\small IF$ il metodo è:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

The $\small IF$ is:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Therefore:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Assuming initial conditions are zero, $\small A=-KC$, hence:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

and

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

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Edit: Solving 1st order ordinary differential equations (ODE) by the Integrating Factor ($\small IF$) method:

For the ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$, where $\small P$ and $\small Q$ are functions of $\small t$ (which may be constants), we follow the steps:

1. Determine the integrating factor: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. The general solution is then found by solving: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$, where $\small A$ is an arbitrary constant.

3. Determine $\small A$ from the initial condition or a boundary condition, if known.

For example, the ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$, with $\small y(0)=5$

Solution: we identify $\small P=2,\:Q=3$

Therefore

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Hence

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Dividing through by $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Applying the initial condition:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; hence $\small A=3.5$

Giving: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

May as well add another approach based upon Chu's recommendation:

The standard form for a first order linear differential equation is:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

If you can set things up like that, then your integrating factor (which is a nifty way to solve these) is:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Then then the solution is:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Suppose the following circuit:

^{simulate this circuit – Schematic created using CircuitLab}

Then from nodal, you get:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Which is in standard form, now.

So, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ and $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$. Thus, the integrating factor is: $\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ and:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple $V_s\left(t\right)$. (Don't forget your constant of integration.)

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.