Stabilità condizionale

Sto imparando su amplificatori operazionali e feedback e come il feedback influisce sulla loro stabilità. Ho letto del guadagno e del margine di fase e dei loro usi quando mi sono imbattuto in questo :

Non capisco bene come il sistema mostrato nell'immagine sarà stabile dato che a circa 2 kHz il feedback sarà positivo; Avrei pensato che ciò avrebbe fatto sì che una frequenza di 2 kHz diventasse sempre più grande e non convergesse.

Perché questo sistema sarà stabile?

Questo è esattamente il motivo per cui penso che le persone dovrebbero prima studiare la stabilità usando i grafici di Nyquist, POI usando i diagrammi di bode e i relativi diagrammi di guadagno e margine di fase.

I margini di guadagno / fase sono solo un modo conveniente per determinare quanto il sistema si avvicina ai poli sul lato destro del piano complesso, in termini di quanto il diagramma di nyquist si avvicina a -1, perché dopo l'espansione parziale della frazione quei termini con i poli positivi finiscono come esponenziali del tempo con coefficiente positivo, il che significa che va all'infinito, il che significa che è instabile.

Tuttavia, funzionano solo quando la trama nyquist è "dall'aspetto normale". Può darsi che faccia qualcosa del genere:

Quindi viola la regola del margine di fase, eppure la funzione di trasferimento ad anello aperto G (s) H (s) non circonda -1, quindi 1 + G (s) H (s) non ha zeri sul lato destro, il che significa che il circuito chiuso non ha i poli sul lato destro, quindi è ancora stabile.

La parola condizionale deriva dal fatto che il guadagno ha un limite superiore / inferiore per mantenerlo in questo modo, e attraversarli rende instabile il sistema (perché sposta la curva abbastanza da cambiare il numero di volte che -1 è circondato).

Stabilità condizionale in una risposta ad anello aperto.

Innanzitutto, poiché proviene da Ridley, puoi scommettere che si tratta di una risposta ad anello aperto di un convertitore di potenza. Questa risposta sarà stabile per il guadagno mostrato per piccoli disturbi del circuito lineare. Se il disturbo del loop diventa abbastanza grande da guidare gli amplificatori verso un funzionamento non lineare, il loop probabilmente diventerà oscillatorio perché il funzionamento della regione non lineare avrà un guadagno dell'amplificatore inferiore.

Il problema con loop come questo è che mentre sono stabili, è comune che i sistemi abbiano un guadagno che varia ampiamente con la tensione di ingresso, il carico o la temperatura, o una combinazione di tutti questi. Se si utilizza un ciclo condizionatamente stabile, è necessario verificare che nessuna di queste dipendenze sia un fattore durante qualsiasi modalità operativa (comprese le condizioni di avvio). Una volta che questi tipi di loop iniziano a oscillare, tendono ad attaccarsi (l'oscillazione ridurrà il guadagno per renderlo tale).

Si noti che il loop come mostrato è correttamente compensato con 2 zeri per coprire i 2 poli. Il problema è che i poli provengono probabilmente da un filtro LC (poli complessi) nel circuito. Ci sarà un induttore a bassa perdita e un banco di condensatori a bassa perdita che si combinano per dare una risposta Q elevata. Dato che Q è elevato, tutto il contributo di fase dell'LC avverrà in un intervallo di frequenza molto ridotto; dal grafico sembra circa un'ottava per 180 gradi di perdita di fase. Gli zeri compensativi di Opamp saranno semplici e quindi l'aumento di fase avverrà nell'arco di 2 anni (come minimo). Quindi, anche se c'è un adeguato incremento di fase per coprire la perdita di fase LC, ci sarà un tuffo di fase e nessun margine di fase negativo o negativo nel mezzo vicino ai poli.

Possibili rimedi per questo tipo di risposta del ciclo:

• Gli zeri compensativi possono essere divisi in modo che uno venga prima dei poli (racchiuderli), aggiungendo un calcio di fase in anticipo. Ciò potrebbe comportare un maggiore margine di fase al calo di fase, ma potrebbe non essere sufficiente.

• La migliore azione è di solito ridurre il Q del filtro LC.

Decostruzione ad anello:

Per mostrare come potrebbe verificarsi questo tipo di risposta ad anello aperto, il ciclo può essere decostruito usando un modello semplice.

Non conosco davvero il circuito che ha reso la risposta postata dall'OP, ma sospetto, in base al modo in cui la risposta sembra provenire da un regolatore di boost in modalità a conduzione continua. Un modello base includerebbe un filtro LC, un PowerModulator e un amplificatore Error. Un semi-schema di una versione in anello aperto AC è:

Il circuito rifletterà in generale il comportamento di un loop boost CCM, anche se i dettagli qui sono scelti per essere ragionevoli e ottenere la corrispondenza più conveniente con il loop pubblicato ... con la minima quantità di lavoro. Questo è solo uno strumento per aiutare a separare tutte le parti del loop e mostrare come andrebbero insieme per formare il loop totale.

Cominciamo con il risultato di questo modello, il ciclo completo:

Non male ... sembra abbastanza vicino all'originale. Puoi vedere che il carattere di base del loop è un integratore con un disturbo risonante LC a 1000Hz. Alle frequenze al di sotto dei poli LC, il guadagno del loop decresce a -20 dB per decennio e alle frequenze al di sopra dei poli LC riprende un declino di -20 dB per decennio. Quindi, dato che nel complesso c'è un roll-off a 1 polo (-20dB /), qualcosa ha gestito quei 2 poli LC coprendoli con zeri. Ci sono artefatti aggiuntivi che appaiono sopra ~ 20kHz; Zero ESR nel filtro LC, mezzo piano zero a destra (rhpz) e frequenza di Nyquist; che sarà menzionato brevemente.

Risposta del filtro LC:

Qui puoi vedere i poli LC a 1kHz e l'effetto di esr uno zero a circa 65kHz. Nota quanto è compresso il comportamento di fase dei poli LC, quasi tutto il cambiamento avviene in un paio di ottave. $C_o$

Modulatore di potenza con filtro LC:

Il modulatore di potenza è stato aggiunto al filtro LC qui. Il modulatore di potenza ha un guadagno di 30 dB, il mezzo piano zero zero a 70 kHz e un polo per la frequenza di Nyquist a 100 kHz (sì, lo so che l'aggiunta di un polo non è il modo giusto per gestire Nyquist, ma dovrà farlo per questo ). Tranne che per avere 30 dB di guadagno, il diagramma del guadagno è uguale a quello della LC. Ma che dire di quella fase? È il rhpz che mostra la fase come un polo lhp, ma guadagna come un lhp zero. Questo è principalmente il motivo per cui la fase ad anello aperto non recupera mai così tanto come si potrebbe pensare dopo la risonanza LC.

Amplificatore di errore:

Qui puoi vedere la risposta dell'amplificatore con il suo polo integratore a bassa frequenza, seguito da 2 zeri a circa 1kHz e 7kHz, un polo a 42kHz per appiattire l'ultimo zero prima di imbattersi nel limite di larghezza di banda dell'amplificatore.

L'opamp aveva una larghezza di banda di 20 MHz con guadagno di 140 dB e un polo a bassa frequenza di 2 Hz. Il guadagno dell'integratore è impostato da R1 e C1. Il primo zero è impostato da C1 e R3. Il secondo zero è impostato da C2 e R1. Il palo di livellamento è impostato da C2 e R2.

Prima un po 'di chiarimenti. Ciò che traccia è il guadagno in loop L (s), che corrisponderebbe a G (s) H (s) nel diagramma seguente:

La funzione di trasferimento completa (chiamata anche guadagno ad anello chiuso ) in questo caso è:

La trasformata inversa avrà esponenziali crescenti (nel senso che è un sistema instabile) ogni volta che quella funzione ha poli sul lato destro (RHS) del piano s. Ciò equivale a scoprire se ci sono zeri sull'RHS del piano s di 1 + L (s). Quindi, in sostanza, l'instabilità è determinata dal guadagno ad anello, non è necessario calcolare il guadagno ad anello chiuso più complesso. Quindi, quando si parla di stabilità, i grafici sono quasi sempre del guadagno del loop L (s).

Torna alla tua domanda:

Per quanto riguarda l'affermazione del sistema come instabile quando il guadagno è maggiore di 0 dB con fase invertita (-180), vorrei rispondere con un contro-esempio facile da vedere. Considera il molto semplice:

^{simula questo circuito - Schema creato usando CircuitLab}

La funzione di trasferimento ad anello è Se K <0, ha un diagramma di bode di magnitudine 20 * log (K) e fase -180.

Secondo il criterio troppo assunto che dice:

se il guadagno del loop è positivo a -180 °, il sistema sarà instabile.

Quindi se | K | > 1 allora deve essere instabile.

Eppure non lo è. L'output è:

Quindi se K = -2 (guadagno positivo in dB e fase di -180),

Stabile.

D'altra parte se K = -1, allora abbiamo un problema (diventa instabile).

Quanto sopra era un esempio di una costante, ma in generale solo sapere che il guadagno è> 0dB a -180 non implica che il sistema sia instabile . Se il tuo libro dice questo, è sbagliato (ma sembrerà giusto per molti casi tipici).

Se inizi a immaginare che il suddetto sistema abbia un piccolo ritardo e che il segnale E non abbia avuto il tempo di rispondere e abbia un valore sbagliato e poi vedi come si propaga iterativamente attraverso il loop, concluderai che il segnale crescerà senza limite. E con questo cadrai in una trappola mentale di cui è difficile uscire, che è quello che penso sia il malinteso sottostante che non consente di accettare concettualmente che il sistema nella tua domanda possa essere stabile.

La trama di Bode è solo una porzione di Nyquist e il criterio di stabilità di Bode è applicabile solo quando la trama di Nyquist è tipica, ma Bode è solo una comodità (è più facile da tramare di Nyquist).

I grafici di Nyquist e la sua versione semplificata dei grafici di Bode sono solo metodi grafici per principalmente:

1. Scopri se il sistema ha poli RHS, che diventano esponenziali in crescita.
2. Ottieni informazioni su quanto è lontano il sistema dall'essere stabile / instabile e cosa si può fare al riguardo.

Anche solo per chiarire, non c'è palude che minimizzerà le frequenze instabili. Una semplice spiegazione è considerare che la risposta totale è la sovrapposizione delle risposte di tutte le frequenze, quindi semplicemente non c'è modo di fissarlo, allo stesso modo in cui non è possibile annullare una sinusoidale di una certa frequenza con un numero qualsiasi di sinusoidali di diverse frequenze.

Ma ripeto, anche pensare in termini di frequenze che rendono instabile il sistema è errato. Questa instabilità non è la stessa di avere una frequenza infinitamente risonante, come in un sistema non smorzato del 2 ° ordine. Questo è un sistema oscillatorio, ma l'instabilità di cui stiamo parlando è di crescere senza limiti con qualsiasi input (tranne zero).

Un modo semplice per provare è rendersi conto che un sistema instabile avrà poli sull'RHS dell'aereo s, e che:

Quindi non è possibile annullare un polo nella funzione di trasferimento che lo moltiplica. L'output continuerà a crescere senza limiti.

La risposta oscillatoria entra in gioco solo se la fase è errata nell'attraversamento zero del guadagno. Questo loop è condizionatamente stabile perché se un fattore riduce il guadagno (facendolo incrociare in precedenza), potrebbe attraversare l'area 2kHz in cui la fase è pericolosa e creare la risposta oscillatoria.

Per rendere questo loop incondizionatamente stabile, dovrebbe esserci un qualche boost di fase per spostare quella sezione di 2kHz fuori dalla zona di pericolo, oppure il guadagno dovrebbe attraversare a una frequenza molto più bassa (nell'area prima che la fase si blocchi).