Perché usiamo nell'analisi AC invece di ?

Nell'analisi AC, $s=j\omega$ quando abbiamo a che fare con $sL$ o $1/sC$ . Ma per una trasformata di Laplace, $s=\sigma+j\omega$ .

Ci scusiamo per essere ambiguo, ma vorrei collegare le seguenti domande:

• Perché sigma è uguale a zero?
• La frequenza dei neper è collegata a questo?
• Sigma è uguale a zero poiché il segnale di ingresso è una sinusoide di costante $\pm V_{max}$ ?

Certo, , per definizione. Quello che sta succedendo è che viene ignorato perché si presume che sia zero. Il motivo è che stiamo osservando la risposta del sistema a segnali sinusoidali periodici (e quindi non in decomposizione), per cui Laplace si riduce convenientemente a Fourier lungo l'asse immaginario. L'asse reale nel dominio Laplace rappresenta i fattori di decadimento / crescita esponenziale che i segnali puri non hanno e che Fourier non modella.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Per l'analisi AC, si presume che il circuito abbia sorgenti sinusoidali (con la stessa frequenza angolare ) e che tutti i transitori siano decaduti. Questa condizione è nota come sinusoidale stato stazionario o regime sinusoidale .$\omega$

Ciò consente di analizzare il circuito nel dominio phasor .

Usando la formula di Eulero abbiamo:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Il phasor associato a è quindi che è solo una costante complessa che contiene le informazioni di grandezza e fase del segnale nel dominio del tempo.$v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Ne consegue che, in queste condizioni, si può analizzare il circuito tenendo traccia dei fasori tensioni e correnti e in base alle seguenti relazioni:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Quindi recuperiamo la soluzione nel dominio del tempo tramite la formula di Eulero.

Ora, esiste una profonda connessione tra l'analisi dei fasori e l'analisi di Laplace, ma è importante tenere presente l'intero contesto dell'analisi CA che è, ancora una volta:

(1) il circuito ha sorgenti sinusoidali (con la stessa frequenza )$\omega$

(2) tutti i transitori sono decaduti

Il motivo per cui viene scelto per valutare i segnali AC è che consente di convertire la trasformata di Laplace in trasformata di Fourier.$S=j\omega$

Il motivo è che mentre S è una variabile complessa, ciò che viene utilizzato nella rappresentazione di Fourier è solo la componente rotazionale (immaginaria), quindi .$\sigma=0$

Puoi trovarne un po 'di più in questa pagina di Stanford .

L'analisi della funzione di trasferimento della trasformata di Laplace (TF) fornisce la risposta completa a un segnale di ingresso sinusoidale da t = 0. La soluzione generalmente contiene termini transitori, che decadono in modo esponenziale a zero, e termini di stato stazionario che rimangono dopo la scomparsa degli esponenziali. Quando abbiamo i poli e gli zeri di un TF, ad es. S = -a + jw, la parte '-a' fornisce la risposta esponenziale (e ^ -at) e la parte jw dà la risposta sinusoidale di stato stazionario: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Se siamo interessati solo alla parte della risposta in regime stazionario (come nel caso dell'analisi della risposta in frequenza), possiamo semplicemente usare la sostituzione s = jw nel TF.

Si noti che e ^ jx = cos (x) + jsin (x) è l'identità di Euler ed è una delle relazioni più importanti e utili nella scienza e nell'ingegneria.

Questo è usato solo per "Sin" e "Cos", che è il caso del segnale AC. Nota: La lan trasnform di sin (at) o cos (at) "1 / jw + a" o "jw / jw + a" che questo può essere provato usando l'identità del peccato e cos usando l'identità di Eulero che è fondamentalmente solo 2 esponenziali e il luogo dell'esponenziale ha solo la parte immaginaria "jw".

Scriverò la prova e la pubblicherò qui. :)

Se osservi la formula della trasformata di Fourier e di Laplace, vedrai che "s" è la trasformazione di Laplace sostituita da "jw" nella trasformata di Fourier. Ecco perché puoi ottenere la trasformata di Fourier dalla trasformazione di Laplace sostituendo "s" con "jw".