In quali condizioni la trasformata stella-maglia è invertibile?

Sappiamo tutti e amiamo le trasformazioni Δ-Y (delta-wye) e Y-Δ (wye-delta) per semplificare le reti a tre resistori:

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Le trasformazioni Δ-Y e Y-Δ hanno la bella proprietà che un Δ può sempre essere trasformato in un Y e un Y può sempre essere trasformato in un Δ, indipendentemente dal valore delle resistenze coinvolte.

Esiste una versione generalizzata della trasformata Y-Δ chiamata trasformata a stella . Questo converte una "stella" di resistori in una "maglia" di resistori N C 2 .$N$$^{N}C_{2}$

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Wikipedia suggerisce che la trasformazione stella-maglia esisterà sempre, ma che la trasformazione inversa, maglia-stella, potrebbe non esistere. Per dire:

La trasformazione sostituisce N resistori con N C 2$^{N}C_{2}$ resistori. Per N> 3, il risultato è un aumento del numero di resistori, quindi la trasformazione non ha inversa generale senza vincoli aggiuntivi.

Quali sono i vincoli che devono essere soddisfatti affinché esista l'inverso?

Sono particolarmente interessato a convertire una rete mesh a 4 nodi in una rete a stella a 4 resistori.

Motivazione della domanda: ho un modello di sistemi di alimentazione industriale (in realtà solo una rete molto ampia di sorgenti e impedenze a tensione costante) contenente ~ 2.000 nodi. Sto cercando di ridurlo a soli quattro nodi di interesse.

Modificare:

Ci sono alcuni articoli pubblicati su questo argomento.

• Versfeld, L., "Osservazioni sulla trasformazione a maglie stellari di reti elettriche", Electronics Letters, vol.6, n. 19, pp. 597.599, 17 settembre 1970

  Vengono studiati due nuovi aspetti della ben nota trasformazione a maglie stellari: (a) le condizioni necessarie e sufficienti per la trasformazione di una data rete mesh generale in una rete stellare equivalente; (b) un'estensione alle reti contenenti fonti.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Trasformazione stella di maglia", Lettere di elettronica, vol.10, n. 6, pp. 73,74, 21 marzo 1974

  Esiste una rete stellare equivalente per una data rete mesh se quest'ultima soddisfa la relazione di Wheatstone. Usando questo fatto, è dimostrato che tutti i cofattori offdiagonali della matrice di ammissione del nodo di riferimento di tale rete mesh sono uguali. Da questa proprietà, deriva una semplice relazione tra gli elementi delle due reti.

Non ho accesso IEEE Xplore quindi non riesco a leggerli.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, where $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, and so on..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.