Relazione e differenza tra trasformate di Fourier, Laplace e Z.

Sono diventato un po 'confuso su questi argomenti. Hanno iniziato a sembrare tutti uguali per me. Sembrano avere le stesse proprietà come linearità, spostamento e ridimensionamento ad essi associati. Non riesco a metterli separatamente e identificare lo scopo di ogni trasformazione. Inoltre, quale di questi viene utilizzato per l'analisi di frequenza?

Non sono riuscito a trovare (con Google) una risposta completa che risolva questo problema specifico. Vorrei vederli confrontati sulla stessa pagina in modo da poter avere un po 'di chiarezza.

Le trasformazioni di Laplace e di Fourier sono trasformazioni continue (integrali) di funzioni continue.

La trasformata di Laplace mappa una funzione su una funzione F ( s ) della variabile complessa s , dove s = σ + j ω .$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Poiché la derivata mappata asF(s), la trasformata di Laplace di un'equazione differenziale lineare è un'equazione algebrica. Pertanto, la trasformata di Laplace è utile, tra l'altro, per risolvere equazioni differenziali lineari.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Se impostiamo la parte reale della variabile complessa s su zero, , il risultato è la trasformata di Fourier F ( j ω ) che è essenzialmente la rappresentazione del dominio della frequenza di f ( t ) (nota che questo è vero solo se per quel valore di σ la formula per ottenere la trasformata di Laplace di f ( t ) esiste, cioè non va all'infinito).$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Le trasformazioni di Laplace possono essere considerate un super set per CTFT. Vedi, su un ROC se le radici della funzione di trasferimento si trovano sull'asse immaginario, cioè per s = σ + jω, σ = 0, come menzionato nei commenti precedenti, il problema delle trasformazioni di Laplace viene ridotto alla Trasformata di Fourier a tempo continuo. Per tornare indietro un po ', sarebbe bene sapere perché le trasformazioni di Laplace si sono evolute in primo luogo quando abbiamo avuto trasformazioni di Fourier. Vedete, la convergenza della funzione (segnale) è una condizione obbligatoria per l'esistenza di una trasformata di Fourier (assolutamente sommabile), ma ci sono anche segnali nel mondo fisico in cui non è possibile avere tali segnali convergenti. Ma, dal momento che analizzarli è necessario, li facciamo convergere, moltiplicando un esponenziale esponenziale monotonamente decrescente, che li fa convergere per sua stessa natura. A questo nuovo σ + jω viene dato un nuovo nome 's', che spesso sostituiamo come 'jω' per la risposta dei segnali sinusoidali dei sistemi LTI causali. Nel piano s, se il ROC di una trasformata di Laplace copre l'asse immaginario, allora la sua trasformata di Fourier esisterà sempre, poiché il segnale converge. Sono questi segnali sull'asse immaginario che comprendono segnali periodici e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (di Eulero).

Allo stesso modo, z-transform è un'estensione di DTFT per, in primo luogo, farli convergere, in secondo luogo, per rendere le nostre vite molto più facili. È facile trattare con az che con ae ^ jω (impostando r, raggio del cerchio ROC come slegato).

Inoltre, è più probabile che tu utilizzi una trasformata di Fourier rispetto a Laplace per segnali non causali, perché le trasformazioni di Laplace rendono la vita molto più semplice se usate come trasformazioni unilaterali (unilaterali). Potresti usarli anche su entrambi i lati, il risultato funzionerà per essere lo stesso con qualche variazione matematica.

Le trasformate di Fourier servono per convertire / rappresentare una funzione che varia nel tempo nel dominio della frequenza.

Una trasformazione laplace serve per convertire / rappresentare una funzione che varia nel tempo nel "dominio integrale"

Le trasformazioni Z sono molto simili a quelle del posto ma sono conversioni discrete di intervalli di tempo, più vicine per le implementazioni digitali.

Sembrano tutti uguali perché i metodi utilizzati per la conversione sono molto simili.

Proverò a spiegare la differenza tra la trasformazione di Laplace e di Fourier con un esempio basato su circuiti elettrici. Quindi, supponiamo di avere un sistema che è descritto con un'equazione differenziale nota, diciamo ad esempio che abbiamo un circuito RLC comune. Supponiamo inoltre che venga utilizzato un interruttore comune per accendere o spegnere il circuito. Ora, se vogliamo studiare il circuito nello stato stazionario sinusoidale, dobbiamo usare la trasformata di Fourier. Altrimenti, se la nostra analisi include l'accensione o lo spegnimento del circuito, dobbiamo implementare la trasformazione di Laplace per le equazioni differenziali.

In altre parole, la trasformazione di Laplace viene utilizzata per studiare l'evoluzione transitoria della risposta del sistema dallo stato iniziale allo stato stazionario sinusoide finale. Include non solo il fenomeno transitorio dallo stato iniziale del sistema, ma anche lo stato stazionario sinusoide finale.

Diversi strumenti per diversi lavori. Alla fine del XVI secolo gli astronomi stavano iniziando a fare calcoli cattivi. I logaritmi sono stati inizialmente calcolati per trasformare la moltiplicazione e la divisione in addizioni e sottrazioni più semplici. Allo stesso modo, le trasformazioni di Laplace e Z trasformano cattive equazioni differenziali in equazioni algebriche che hai una possibilità di risolvere. Le serie di Fourier sono state originariamente inventate per risolvere il flusso di calore in mattoni e altre equazioni differenziali parziali. Successivamente è arrivata l'applicazione a corde vibranti, canne d'organo e analisi delle serie storiche.

In qualsiasi sistema LTI per il calcolo della funzione di trasferimento utilizziamo solo la laform trasformata anziché la trasformata di Fourier o Z perché in Fourier otteniamo l'output limitato; non va all'infinito. E la trasformazione z viene utilizzata per segnali discreti, ma i sistemi LTI sono segnali continui, quindi non possiamo usare la trasformazione z. Pertanto, utilizzando la trasformazione laplace, possiamo calcolare la funzione di trasferimento di qualsiasi sistema LTI.