Differenza tra risposta naturale e risposta forzata?

Riferimento

Secondo post su EdaBoard.com

La risposta temporale di un sistema è l'evoluzione temporale delle variabili. Nei circuiti, queste sarebbero le forme d'onda di tensione e corrente rispetto al tempo.

La risposta naturale è la risposta del sistema alle condizioni iniziali con tutte le forze esterne impostate su zero. Nei circuiti, questa sarebbe la risposta del circuito con condizioni iniziali (correnti iniziali sugli induttori e tensione iniziale sui condensatori per esempio) con tutte le tensioni indipendenti impostate su zero volt (cortocircuito) e le sorgenti di corrente impostate su zero amp (circuito aperto ). La risposta naturale del circuito sarà dettata dalle costanti di tempo del circuito e in generale dalle radici dell'equazione delle caratteristiche (poli).

La risposta forzata è la risposta del sistema a uno stimolo esterno con zero condizioni iniziali. Nei circuiti, questa sarebbe solo la risposta del circuito alla tensione esterna e alla funzione di forzatura della sorgente di corrente ... continua a leggere

Domande

1. Come può esserci anche una risposta naturale? Qualcosa deve essere immesso per creare un output? Per come la vedo io è come girare la linea di galleggiamento principale e poi aprire il rubinetto e aspettarsi che l'acqua esca.

2. Come possiamo v(t)(dal link sopra) essere risolti se non lo sappiamo dv(dt)per trovare la risposta naturale?

3. Se puoi ampliare i 2 concetti (risposta naturale e risposta forzata) spiegando le loro differenze nei termini di Layman, sarebbe adorabile.

1. Dato un equazione 10dy/dt + 24y = 48significa rate of change of output + 24 * output = 48. Le condizioni iniziali sono y(0)=5e dy/dt=0.
   • Ciò significherebbe che l'ingresso è 48/(24*5)È un'ipotesi corretta? La soluzione a questo è 0.4qual è l'input costante?

Pensa a un semplice sistema meccanico come una barra elastica o un blocco attaccato a una molla contro la gravità, nel mondo reale. Ogni volta che si dà un impulso al sistema (al blocco o alla barra), inizieranno un'oscillazione e presto smetteranno di muoversi.

Esistono modi per analizzare un sistema come questo. I due modi più comuni sono:

1. Soluzione completa = soluzione omogenea + soluzione particolare

2. Risposta completa = Resopnse naturale (input zero) + risposta forzata (stato zero)

Poiché il sistema è lo stesso, entrambi dovrebbero risultare nella stessa equazione finale che rappresenta lo stesso comportamento. Ma puoi separarli per capire meglio cosa significa fisicamente ogni parte (specialmente il secondo metodo).

Nel primo metodo, pensi di più dal punto di vista di un sistema LTI o di un'equazione matematica (equazione differenziale) in cui puoi trovare la sua soluzione omogenea e quindi la sua particolare soluzione. La soluzione omogenea può essere vista come una risposta transitoria del sistema a quell'input (più le sue condizioni iniziali) e la soluzione particolare può essere vista come lo stato permanente del sistema dopo / con quell'input.

Il secondo metodo è più intuitivo: risposta naturale significa qual è la risposta del sistema alla sua condizione iniziale. E la risposta forzata è la risposta del sistema a quel dato input ma senza condizioni iniziali. Pensando in termini di quella barra o esempio di blocco che ho dato, puoi immaginare che a un certo punto hai spinto la barra con le mani e la stai tenendo lì. Questo può essere il tuo stato iniziale. Se lo lasci andare, oscillerà e poi si fermerà. Questa è la risposta naturale del tuo sistema a quella condizione.

Inoltre puoi lasciarlo andare ma continua a dare un po 'di energia in più al sistema colpendolo ripetutamente. Il sistema avrà la sua risposta naturale come prima, ma mostrerà anche un comportamento extra a causa dei tuoi colpi extra. Quando trovi la risposta completa del tuo sistema con il secondo metodo, puoi vedere chiaramente qual è il comportamento naturale del sistema a causa di quelle condizioni iniziali e qual è la risposta del sistema se avesse solo l'input (senza condizioni iniziali). Entrambi insieme rappresenteranno tutto il comportamento del sistema.

E nota che anche la risposta a stato zero (risposta forzata) può consistere in una porzione "naturale" e una porzione "particolare". Questo perché anche senza condizioni iniziali, se si fornisce un input al sistema, avrà una risposta transitoria + una risposta di stato permanente.

Risposta di esempio: immagina che la tua equazione rappresenti il ​​seguente circuito:

Quale uscita y (t) è la corrente del circuito. E immagina che la tua sorgente sia una sorgente DC di + 48v. In questo modo, sommando la tensione dell'elemento in questo percorso chiuso, si ottiene:

$\epsilon=V_L+V_R$

Possiamo riscrivere la tensione dell'induttore e la tensione del resistore in termini di corrente:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Se abbiamo una fonte di alimentazione di + 48VDC e L = 10H e R = 24Ohms, quindi:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

che è esattamente l'equazione che hai usato. Quindi, chiaramente il tuo input per il sistema (circuito RL) è solo l'alimentazione di + 48v. Quindi il tuo input = 48.

Le condizioni iniziali che hai sono y (0) = 5 e y '(0) = 0. Fisicamente rappresenta che al momento = 0, la mia corrente del circuito è 5A ma non varia. Potresti pensare che qualcosa sia accaduto in precedenza nel circuito che ha lasciato una corrente nell'induttore di 5A. Quindi in quel dato momento (momento iniziale) ha quei 5A (y (0) = 5) ma non sta aumentando o diminuendo (y '(0) = 0).

Risolvendolo:

$Ae^{st}$

$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Così,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Poiché sappiamo che i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

$t=+\infty$

Ora possiamo trovare la soluzione particolare all'equazione che rappresenterà lo stato permanente a causa della presenza dell'alimentazione (input):

$i(t)=c$$c$

Così,

$\frac{di}{dt}=0$

poi,

$48 = 0.10 + 24c$

$c=2$

$i(\infty)=2$

che ha anche senso perché abbiamo un alimentatore CC. Quindi, dopo la risposta transitoria dell'accensione dell'alimentazione CC, l'induttore si comporterà come un filo e avremo un circuito resistivo con R = 24 Ohm. Quindi dovremmo avere 2A di corrente poiché l'alimentatore ha 48V.

Ma nota che se aggiungo entrambi i risultati per trovare la risposta completa, avremo:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Ora ho incasinato le cose nello stato transitorio perché se metto t = 0 non troveremo più i = 5 come prima. E noi dobbiamo trovare i = 5 quando t = 0, perché si tratta di una data condizione iniziale. Questo perché la risposta dello Stato Zero ha un termine naturale che non c'è e ha anche lo stesso formato che abbiamo trovato prima. Aggiungendolo lì:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

La costante di tempo è la stessa quindi ci ha lasciato solo B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

E sappiamo che:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$

Così,

$B=-2$

Quindi, la soluzione completa è:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

potresti pensare a quest'ultimo termine che troviamo come un termine di correzione della risposta forzata per soddisfare le condizioni iniziali. Un altro modo per trovarlo è immaginare lo stesso sistema ma no senza condizioni iniziali. Quindi, risolvendo completamente, avremmo:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Ma poiché ora non stiamo considerando le condizioni iniziali (i (0) = 0), quindi:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

E quando t = 0:

$A=-2$

quindi la risposta forzata (stato zero) del tuo sistema è:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

È un po 'confuso ma ora puoi vedere le cose da diverse prospettive.

-Soluzioni omogenee / particolari:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Il primo termine (2) è la soluzione particolare e rappresenta lo stato permanente. Il resto del lato destro è la risposta transitoria, chiamata anche soluzione omogenea dell'equazione. Alcuni libri lo chiamano anche Risposta naturale e Risposta forzata poiché la prima parte è la parte forzata (dovuta all'alimentazione) e la seconda parte è la parte transitoria o naturale (caratteristica del sistema). Questo è il modo più veloce per trovare la risposta completa, penso, perché devi trovare lo stato permanente e una risposta naturale solo una volta. Ma potrebbe non essere chiaro cosa rappresenti cosa.

-Azzeramento zero / stato zero:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

$2 - 2e^{-2,4t}$

$5e^{-2,4t}$

Alcune persone chiamano anche questo formato di risposta naturale / forzata. La parte naturale sarebbe l'ingresso zero e la parte forzata sarebbe lo stato zero, che tra l'altro è composto da un termine naturale e un termine particolare.

Ancora una volta, ti daranno tutti lo stesso risultato che rappresenta l'intero comportamento della situazione, compresa la fonte di alimentazione e le condizioni iniziali. Basta notare che in alcuni casi potrebbe essere utile utilizzare il secondo metodo. Un buon esempio è quando stai usando le convoluzioni e potresti trovare la risposta all'impulso al tuo sistema con Zero-State. Quindi infrangere questi termini potrebbe aiutarti a vedere le cose in modo chiaro e anche a usare un termine adeguato per confondere.

Come può esserci anche una risposta naturale? Qualcosa deve essere immesso per creare un output?

Se aiuta, pensa alla risposta naturale come la risposta forzata a un input di impulso.

Per come la vedo io è come girare la linea di galleggiamento principale e poi aprire il rubinetto e aspettarsi che l'acqua esca.

Immagina che la rete idrica sia collegata a un grande serbatoio di contenimento come utilizzato nei sistemi idrici a pozzo e chiudi la valvola alla rete idrica.

Il serbatoio è stato riempito con acqua ed è pressurizzato alla pressione principale dell'acqua prima di chiudere la valvola. Questa è la condizione iniziale .

Se apri il rubinetto, uscirà dell'acqua . Il serbatoio di erogazione erogherà acqua per un certo periodo di tempo, poiché il serbatoio di svuotamento si svuota e la pressione al rubinetto diminuirà. Questo flusso d'acqua in diminuzione e la pressione in caduta sarebbero la risposta naturale del sistema.

Ora, dopo che il serbatoio si è svuotato, si apre rapidamente la valvola principale dell'acqua mentre il rubinetto è ancora aperto.

La maggior parte del flusso d'acqua è inizialmente per "caricare" il serbatoio di mantenimento e, man mano che il serbatoio si riempie e aumenta la pressione, l'acqua scorre a un ritmo crescente dal rubinetto fino a quando il serbatoio è pieno e il flusso e la pressione si stabilizzano.

Questa è la risposta forzata a un input di passaggio .

Questo è il problema con i libri di testo che non definiscono chiaramente tutto in modo che tutti possano capire le definizioni. La risposta naturale sta davvero parlando di un sistema che (ad un certo punto) è stato "caricato" in modo tale che gli elementi che immagazzinano energia contengono una certa quantità di energia iniziale, che potrebbe tradursi in una tensione iniziale in un condensatore o in una corrente iniziale in un induttore. Ciò determina i valori iniziali di condizione per condensatori o induttori. Quindi, ad esempio tempo t = 0, si presume che la fonte magica che era responsabile per energizzare il circuito, sia rimossa istantaneamente. Quindi, se la fonte magica fosse stata una fonte di tensione, allora "rimuoverla" potrebbe significare rimuoverla fisicamente o spegnerla dal circuito. Quindi, al momento t = 0, la risposta naturale sarà semplicemente il comportamento di forse una corrente attraverso un induttore o un condensatore o una tensione attraverso un condensatore o un induttore. E il circuito è alimentato solo da quei componenti inizialmente caricati (perché non assumiamo alcun input di sorgente 'esterno' per il tempo t = 0 in poi).

Quindi, per la risposta naturale, è davvero un caso in cui "una volta c'era" un input esterno per produrre le condizioni iniziali negli induttori e nei condensatori. Ora, se il sistema non fosse caricato all'inizio, in modo tale che tutte le tensioni e le correnti di condensatore e induttore fossero zero per cominciare, quale sarebbe la risposta naturale del sistema? Risposta: zero.

Ora, la risposta forzata è la risposta di un circuito (come un comportamento in tensione o in corrente) nel caso in cui supponiamo che induttori e condensatori non abbiano energia iniziale, il che significa che non c'è tensione iniziale o correnti iniziali in questi componenti . E poi, all'improvviso, applichiamo una forza esterna (sorgente) all'ingresso del circuito. Il comportamento delle correnti e / o delle tensioni del circuito per questo scenario ha appena ricevuto un nome .... chiamato risposta forzata. Fondamentalmente, è una risposta a un input di sorgente basato sul presupposto che abbiamo iniziato con condizioni iniziali di energia ZERO in induttori e condensatori.

Una volta utilizzati i metodi per ottenere comodamente la risposta naturale e la risposta forzata, sommiamo entrambe le parti per ottenere il quadro completo. Un po 'come il principio di sovrapposizione.

Non ho familiarità con il termine "risposta forzata" in questo contesto, ma qui va. Molti sistemi possono essere caratterizzati come primo ordine più tempo morto (FOPDT). La "risposta naturale" di tale sistema allo stimolo è un ritardo iniziale seguito da un approccio esponenziale a un nuovo stato stazionario.

Pensa a un elemento riscaldante fornito da una fonte di tensione variabile. Le condizioni iniziali sono lo spegnimento e il riscaldamento a temperatura ambiente. Accendere a dire 10 volt. Per un breve periodo (il tempo morto) la temperatura del riscaldatore non cambia. La temperatura inizia quindi ad aumentare, inizialmente dapprima rapidamente, per poi assestarsi gradualmente a un nuovo stato stabile. Se hai osservato attentamente i tempi, avrai tre caratteristiche naturali del sistema:

1. Guadagno - espresso in gradi / volt. Se i 10 volt hanno causato un guadagno di 20 gradi, allora guadagno = 2. Quindi per un ingresso di 20 volt, dovresti aspettarti un aumento di 40 gradi dall'ambiente.
2. Tempo morto - ritardo nell'aspettarsi in risposta a un cambiamento di input. (inerzia)
3. Costante di tempo o frequenza naturale - il tempo dall'inizio della modifica allo stato stazionario è di 5 costanti di tempo. (come caricare un condensatore)

Con questi dati è possibile prevedere quanta variazione di temperatura aspettarsi per una determinata variazione di tensione e quanto tempo ci vorrà, ovvero una risposta naturale.

Presumo che una "risposta forzata" comporterebbe un eccesso di stimolazione del sistema per ottenere un risultato più rapido. Quindi, per aumentare di 30 gradi, sappiamo che abbiamo bisogno di un aumento di 15 volt in ingresso. Aumentando brevemente la tensione di 25 volt e quindi arretrando di 10 volt, potremmo raggiungere più rapidamente la temperatura finale desiderata, ovvero "forzare" una risposta più rapida.