Prova matematica che la tensione RMS per la corrente RMS fornisce potenza media

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So che questo è vero perché l'ho letto in una fonte attendibile. Comprendo anche intuitivamente che la potenza è proporzionale al quadrato di tensione o corrente per un carico resistivo e che la "S" in RMS è per "quadrato". Sto cercando una dura prova matematica.

Lascia che denoti la corrente all'istante , e allo stesso modo indica la tensione in quell'istante. Se possiamo misurare la tensione e la corrente in tutti gli istanti e non ci sono istanti, allora la potenza apparente media è: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Che cos'è un'elegante prova matematica che

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

raggiunge lo stesso risultato per carichi resistivi?

power math rms

— Phil Frost
fonte

Se ricordo bene, dovrebbe esserci una prova che afferma come RMS sia l'approssimazione più vicina al valore effettivo di un segnale nella durata temporale di interesse. Usandolo, potremmo probabilmente dimostrare che . Sfortunatamente, sembra che abbia perso il libro che ne aveva la prova. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

Tempi di corrente RMS La tensione RMS non equivale alla potenza media. È uguale alla potenza apparente (media). Se hai carichi non resistivi, questo può fare la differenza.

— SomeoneSomewhereSupportsMonica

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Legge di Ohm

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

La dissipazione di potenza istantanea è il prodotto di tensione e corrente

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Sostituisci 1 in 2 per ottenere potenza istantanea attraverso un resistore in termini di tensione o corrente:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

La potenza media è definitivamente l'integrale della potenza istantanea per un periodo, divisa per quel periodo. Sostituisci 3 con quello per ottenere una potenza media in termini di tensione e corrente.

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

Definizione della corrente RMS Quadrato su entrambi i lati Moltiplica per R per trovare l'equazione 4 per la potenza media Definizione della tensione RMS Quadrato su entrambi i lati Dividi per R per trovare l'equazione 4 per la potenza media Moltiplica le espressioni 7 e 10 per la potenza media Radice quadrata di entrambi i lati

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T} = P_{a v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— Stephen Collings
fonte

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La prova molto semplice (nel caso di campionamento discreto nella domanda) è sostituendo E / R con I nell'equazione RMS

X_{r m S} = \sqrt{\frac{1}{n} (X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X + \dots + X_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

e algebra molto semplice.

E sì, questo è vero perché è specificato che abbiamo un carico puramente resistivo, quindi non vi è alcun problema di angolo di fase e nessuna armonica presente in I che non è presente anche in E.

MODIFICARE

definizione di RMS per punti discreti (da Wikipedia):

X_{r m S} = \sqrt{\frac{1}{n} (X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

quindi

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

e

{io}_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ({io}_{1}^{2} + {io}_{2}^{2} + \dots + {io}_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

e con la legge di Ohm sostituzione:

{io}_{io} = V_{io} / R

$I_i = V_i/R$

{io}_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

poi:

{io}_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

Estrarre 1 / R ^ 2

{io}_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

così:

V_{R M S} * {io}_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ è:

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

distribuire l'1 / R:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Usando di nuovo la sostituzione della Legge di Ohm:

(\frac{1}{n} (V_{1} {io}_{1} + V_{2} {io}_{2} + \dots + V_{n} {io}_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

che è:

\frac{1}{n} Σ_{io = io}^{n} {io}_{io} V_{io}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
fonte

Se l'algebra è semplice, puoi mostrarci? È possibile utilizzare il markup LaTeX per comporre la matematica.

— Phil Frost,

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Grazie per l'incoraggiamento. Non avevo usato LaTex dal 1983.

— George White,

0

La chiave è che per un carico resistivo, la tensione e la corrente sono in fase.

Se la tensione e la corrente sono entrambe , allora il loro prodotto è dato dall'uguaglianza . La potenza è un'onda sinusoidale del doppio della frequenza, che oscilla di circa . Questa è la sua media nel tempo (la "media" del "quadrato"). La radice del quadrato medio è . Ecco dove otteniamo quel numero magico. $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

La tensione o la corrente quadrata media radice sono la tensione e la corrente equivalenti CC che produrranno la stessa dissipazione di potenza nel tempo . Se la dissipazione di potenza media è W, tale dissipazione di potenza può essere costantemente prodotta da VDC moltiplicata per A DC. $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

Se la corrente e la tensione sono fuori fase di 90 gradi (carico reattivo puro), allora possiamo pensare che uno sia e l'altro sia . L'uguaglianza applicabile è quindi . La forma d'onda di potenza non è più "distorta" per oscillare di circa ; la sua media è zero: la potenza fluisce dentro e fuori dal carico a mezzo ciclo alternato, mentre la forma d'onda di potenza oscilla positivamente e negativamente. $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Quindi, per rispondere alla domanda, la tensione e la corrente RMS sono definite in base alla potenza media: ognuna è derivata dalla radice quadrata della potenza media. Moltiplicando insieme due valori ottenuti dalla radice quadrata della potenza media, si recupera la potenza media.

— Kaz
fonte

Penso che la risposta di Stephen Colling sia la migliore. Non si basa sui dettagli della forma d'onda e copre il caso continuo. Inoltre, "La tensione o la corrente quadrata media della radice sono la tensione e la corrente equivalenti CC che produrranno la stessa dissipazione di potenza nel tempo" sembra rispondere alla domanda assumendo la risposta e quindi andando in cerchio per ottenere la risposta.

— George White,

-2

Consente di semplificare di più questo problema senza matematica. Prendi questo semplice circuito che produce una forma d'onda quadrata con un periodo di 10 sec.

inserisci qui la descrizione dell'immagine

La tensione è così

inserisci qui la descrizione dell'immagine

e la corrente è

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Quindi sarà la forma d'onda di potenza

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Quando l'interruttore è aperto, non viene fornita alimentazione al resistore, quindi l'energia totale è 10 watt X 5 secondi = 50 Joule, ed è lo stesso che applichiamo 5 watt in 10 secondi inserisci qui la descrizione dell'immagine

e questa è la potenza media. La tensione media è di 5 volt e la corrente media è di 0,5 ampere. Facendo un semplice calcolo, la potenza media risulta 2,5 Watt o 25 Joule, il che non è vero.

Quindi facciamo questo trucco CON QUESTO ORDINE:

Primo quadrato la tensione (e corrente)
In secondo luogo prendere la media della piazza
Quindi prendi la radice quadrata della media

Il quadrato della forma d'onda della tensione sarà

inserisci qui la descrizione dell'immagine

E la media è 50V ^ 2 (non 50 ^ 2 volt). Da questo punto dimentica la forma d'onda. Solo valori. La radice quadrata del valore precedente è 7.071… volt RMS. Fare lo stesso con la corrente si troverà 0,7071..A RMS E la potenza media sarà 7.071V x 0,7071A = 5 Watt

Se si tenta di fare lo stesso con la potenza RMS, il risultato sarà un totale di 7.071 Watt.

Quindi l'unica potenza di riscaldamento equivalente è la potenza media e l'unico modo per calcolare è utilizzare i valori rms di tensione e corrente

— GR Tech
fonte

Non possiamo calcolare la potenza media dissipata in un resistore come media della potenza istantanea? Dov'è la prova matematica richiesta dall'OP?

— Joe Hass,

Per alcune forme d'onda complesse, ovviamente, dobbiamo integrarle utilizzando intervalli di tempo vicini allo zero per valori medi esatti. Evito di usare qualsiasi tipo di matematica, ecco perché uso l'onda quadra che è molto facile vedere il significato della media. RMS è anche un valore medio.

— GR Tech

Mi sembra che dimostri che la potenza media effettiva è di 5 watt e che RMS V * RMS I = 5 watt dimostrano, in questo caso, che l'OP è corretto. Mostra anche che, in questo caso, V * medio I = 2,5 watt.

— George White,

Ok ho capito. Problema di lingua di nuovo. Quello che stavo cercando di dire è che il calcolo Vavg x Iavg non è corretto. Grazie per avermi scoraggiato!

— GR Tech

Se "RMS è anche un valore medio", allora perché il valore RMS della tensione della linea di alimentazione non è uguale a 0,0 V proprio come il valore medio?

— Joe Hass,