In che modo la forza di carico influisce sull'inerzia del carico?

Sto cercando di simulare un argano come un motore regolato in base alla velocità che funziona attraverso un cambio per sollevare una massa. L'uscita del cambio è un tamburo, che ruota per accumulare il cavo.

Mi sento a mio agio nel convertire la massa in un momento di inerzia e mi sento anche a mio agio nel convertire quel momento di inerzia (lato uscita) nel momento di inerzia "visto" dal motore (lato ingresso) con il rapporto del cambio . Con una semplice simulazione, non ho problemi a scrivere le equazioni del movimento.

La mia complicazione arriva quando voglio modellare "allungare" il cavo. Pensavo di poterlo fare semplicemente mettendo una molla di rigidità arbitraria tra il tamburo del verricello e la massa, come illustrato di seguito.

Con questo modello, per motivi di simulazione, presumo di conoscere l '"altezza del tamburo", che sarebbe la misura in cui il tamburo ha girato moltiplicato per il raggio del tamburo e l'altezza del carico. La forza della primavera sarebbe$k(\phi r - y)$, ma come posso applicarlo al motore ?

Ho un modello di motore:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ e un modello di controller PI:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ dove $\Theta$ è la velocità del motore, $V$ è la tensione terminale, $J$ è l'inerzia del carico e dei macchinari, e $R_a$, $K_T$, e $K_b$ sono rispettivamente la resistenza di armatura del motore, la costante di coppia e la costante EMF posteriore.

L'interazione che mi interessa studiare si verifica quando il controller PI è sintonizzato sull'inerzia del carico prevista$J$, che verrebbe trovato con il motore, il cambio, il tamburo e la massa del carico, ma il sistema "vede" effettivamente la massa elastica.

La semplificazione si ottiene impostando il $k_i/k_p$ rapporto uguale a $K_TK_b/R_aJ$, dando:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Nota che posso andarmene $k_p$ come variabile perché il rapporto $k_i/k_p$ può essere impostato su quello che voglio tramite $k_i$ fintanto che $k_p$ non è zero.)

Quindi, in un mondo ideale , dove il valore dell'inerzia "totale"$J$ è noto in anticipo, il polo si annulla e l'intero sistema si riduce a:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Finalmente, $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$, quindi, con l'algebra:

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Quindi, mi dispiace di aver sparato con così tanti dettagli, ma volevo impressionare chiunque leggesse che mi sento fiducioso con tutti i miei passi finora e che ho speso considerevoli sforzi per risolvere questo problema. Ora, ancora una volta alla mia domanda: voglio simulare l' allungamento del cavo tra il tamburo e il carico, ma non sono sicuro di come utilizzare la forza della molla per modulare l'inerzia del carico.

Un pensiero che avevo era di provare a falsificare una "massa equivalente", assumendo:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

ma questo non sembra giusto, e non sono sicuro di cosa avrei usato per l'accelerazione $a$.

Sono frustrato di essere così lontano sul problema e rimanere perplesso da quello che sembra dovrebbe essere un problema facile, ma non riesco davvero a pensare a un modo di affrontare questo problema. Penso che se potessi inquadrarlo correttamente, potrei elaborare la meccanica, ma è la conversione da forza a inerzia che sento come se avessi bisogno di essere fatto che mi ha lasciato perplesso.

Infine, per la cronaca, ho anche provato a rintracciare il mio modello di motore per includere la coppia di carico. Ciò dà risultati apparentemente ragionevoli, ma alla fine sottraggo la coppia di carico dalla coppia del motore per ottenere la coppia netta, quindi applico quella coppia netta all'inerzia totale per ottenere l'accelerazione del motore. Questo si nutre in futuro e, ancora una volta, non sono sicuro di trattare correttamente l'inerzia totale.

Calcoliamo prima il modello. Il design del controllo è uno sforzo separato.

La coppia applicata al tamburo è $n T_M$, dove n è il rapporto di trasmissione e $T_M$ è l'uscita prodotta dal motore. $T_M= K_T i(t)$, dove $K_T$ è una costante di proporzionalità e $i(t)$ è la corrente del motore.

Ora possiamo scrivere le equazioni per il sistema meccanico:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Qui m è la massa e k è la costante di primavera.

Per scrivere l'equazione del motore, dobbiamo determinare il back emf. L'emf posteriore è proporzionale alla velocità del motore e per scriverla in termini di velocità del tamburo la moltiplichiamo anche per il rapporto di trasmissione n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Qui è la tensione applicata, è l'induttanza, è la resistenza e è la costante di proporzionalità.$V(t)$$L$$R$$K_b$

Queste tre equazioni hanno come input e , e come stati / output. Questo può essere usato per ottenere il modello dello spazio degli stati o il modello della funzione di trasferimento. (I seguenti sono stati ottenuti usando Mathematica)$V(t)$$i(t)$$\theta (t)$$y(t)$

Ora la progettazione del controllo può iniziare ...

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Dato che c'è stata una certa confusione sull'inerzia da usare, vorrei chiarire la risposta. Presumo un ingranaggio nel cambio: un ingranaggio con inerzia sul lato tamburo e un ingranaggio con inerzia sul lato motore.$J_1$$J_2$

Nella risposta sopra ho trascurato l'inerzia degli ingranaggi. L'unica modifica che deve essere fatta ora è modificare la seconda equazione come segue.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Se si desidera anche l'equazione per descrivere la dinamica transitoria dell'albero motore, si tratta di un'equazione aggiuntiva che coinvolge (rotazione dell'albero motore), l'inerzia , ecc. Tuttavia, ciò non è necessario se l'obiettivo è controllare la posizione del tamburo.$\theta_M$$J_2$

Allunga nel delta primaverile Quindi il delta Y non è costante ma se sei interessato a delt Y_max $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

delta , secondo la legge Hooks. Perché il tuo sistema non accelera se non all'inizio e alla fine supponendo che la puleggia si avvii e si fermi all'improvviso, questo è il massimo. Qualsiasi accelerazione graduale di avvio / arresto dovrà essere sottratta dall'accelerazione della molla che è$Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

guardando il diagramma del corpo libero della massa
Come hai notato la forza è$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
dividere entrambi i lati per K otteniamo:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Spero che questo possa aiutare.

Mi rendo conto che si tratta di un vecchio thread e non sono sicuro di quanto sia stata profonda l'immersione che alla fine hai intrapreso, ma una cosa che non vedo spiegata nelle tue equazioni è l'attrito tamburo / cavo. Questo sarà piccolo e, come la massa accumulata della fune d'acciaio non inclusa, potrebbe non essere nell'elenco. Il cavo potrebbe essere pre-stirato e precaricato, tuttavia qualsiasi movimento tra il cavo e il tamburo dovuto all'allungamento del cavo incontrerà anche attrito. Nel mio settore (sartiame teatrale, progettazione di macchinari per palcoscenici), la scanalatura contatta un'area maggiore di un'applicazione a tamburo piatto e di solito abbiamo attrito aggiuntivo lungo le pulegge e i muli di reindirizzamento nel set di linee per tenere conto soprattutto in 2: 1 o 4: 1 sistemi di vantaggio meccanico.

Penso che l'approccio di Suba Thomas dia un buon modello: iniziare con la somma delle forze al carico e la somma dei momenti al tamburo. Quindi determinare il modello di motore necessario.

Il modello motore iniziale del mandrino necessita di un sistema rigido in cui è possibile calcolare un singolo valore per il momento di inerzia, mentre l'obiettivo del modello è:

L'interazione che mi interessa studiare si verifica quando il controller PI è sintonizzato sull'inerzia del carico prevista , che si troverebbe con il motore, il cambio, il tamburo e la massa del carico, ma il sistema in realtà "vede" la massa elastica.$J$

Una nota sull'inerzia nell'equazione del momento del tamburo di Suba Thomas: non dimenticare l'inerzia del motore aumentata rispetto al tamburo. A seconda del motore scelto, la sua influenza può essere significativa. Quindi sceglierei$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$