Determinazione della rigidità di un raggio con momento di inerzia variabile

Devo calcolare o la rigidità equivalente di una trave che ha una variabile per tutta la sua lunghezza. è stato dato in funzione di , o lunghezza. $K$ $I$ $I$ $x$

Non sono stato in grado di trovare un'equazione o un insieme di equazioni che descrivono come ottenere per questa situazione. Ho trovato equazioni per valori costanti su tutta la lunghezza dei raggi. Esiste un'equazione di cui non sono a conoscenza o una procedura generale per derivare per valori di variabili ? $K$ $I$ $K$ $I$

beam

— Jacob Norman
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È possibile inserire la variabile nell'equazione integrale per la rotazione e la deflessione. $I(x)$

$M(x)$

$\theta = \int \frac{M(x)}{E*I(x)}dx$

$\theta(0) = 0$

$\nu = \int \theta dx$

e aggiungere le condizioni al contorno pertinenti.

In bocca al lupo!

— Jos
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La risposta breve è che non puoi.

La risposta leggermente più lunga è possibile, ma la soluzione è specifica della sezione trasversale adottata.

$x=0$ $L$ $E \cdot I(x)$ $h_0$ $h_1$ $P$

Come già accennato da @jos nella loro risposta, usiamo le equazioni del raggio.

Questo è un raggio isostatico, quindi l'equazione del momento flettente può essere ottenuta banalmente come

M = P (L - x)

$M = P(L-x)$

questo deve quindi essere diviso per la rigidità del raggio e il risultato deve essere integrato per ottenere la tangente del raggio.

θ = \int_{0}^{L} \frac{P (L - x)}{E \cdot I (x)} d x

$\theta = \int\limits_0^L\frac{P(L-x)}{E \cdot I(x)}\text{d}x$

$EI$ $I(x)$

$I(x)$

I (x) = \frac{b \cdot h (x)^{3}}{12} = \frac{b \cdot {(h_{0} + (h_{1} - h_{0}) \frac{x}{L})}^{3}}{12} = \frac{b \cdot {(h_{0} + Δ h \frac{x}{L})}^{3}}{12}

$I(x) = \frac{b \cdot h(x)^3}{12} = \frac{b \cdot \left(h_0 + \left(h_1-h_0\right)\dfrac{x}{L}\right)^3}{12} = \frac{b \cdot \left(h_0 + \Delta h\dfrac{x}{L}\right)^3}{12}$

$\theta$

\begin{matrix} θ = \frac{1}{E} \int \frac{12 P (L - x)}{b \cdot {(h_{0} + Δ h \frac{x}{L})}^{3}} d x \\ θ = \frac{6 P L^{3}}{E b Δ h^{2}} (\frac{- Δ h L + 2 Δ h x + h_{0} L}{(Δ h x + h_{0} L)^{2}} + C_{1}) \end{matrix}

$\begin{gather} \theta = \frac{1}{E}\int\frac{12P(L-x)}{b \cdot \left(h_0 + \Delta h\dfrac{x}{L}\right)^3}\text{d}x \\ \theta = \frac{6PL^3}{Eb\Delta h^2}\left(\frac{-\Delta hL+2\Delta hx+h_0L}{(\Delta hx+h_0L)^2} + C_1\right) \end{gather}$

Stai già diventando brutto, vero? Ora, non ci resta che integrarlo ancora una volta per ottenere la deflessione.

\begin{matrix} δ = \frac{6 P L^{3}}{E b Δ h^{2}} \int_{0}^{L} (\frac{- Δ h L + 2 Δ h x + h_{0} L}{(Δ h x + h_{0} L)^{2}} + C_{1}) d x \\ δ = \frac{6 P}{E b Δ h^{2}} (\frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h (Δ h x + h_{0} L)} + \frac{2 \ln (Δ h x + h_{0} L)}{Δ h} + C_{1} x + C_{2}) \end{matrix}

$\begin{gather} \delta = \frac{6PL^3}{Eb\Delta h^2}\int\limits_0^L\left(\frac{-\Delta hL+2\Delta hx+h_0L}{(\Delta hx+h_0L)^2} + C_1\right)\text{d}x \\ \delta = \frac{6P}{Eb\Delta h^2}\left(\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta h(\Delta hx+h_0L)}+\dfrac{2\ln(\Delta hx+h_0L)}{\Delta h}+C_1x+C_2\right) \end{gather}$

$C_1$ $C_2$

\begin{matrix} θ (0) = 0 = \frac{- Δ h L + h_{0} L}{(h_{0} L)^{2}} + C_{1} \\ ∴ C_{1} = \frac{Δ h L - h_{0} L}{(h_{0} L)^{2}} \\ δ (0) = 0 = \frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h h_{0} L} + \frac{2 \ln (h_{0} L)}{Δ h} + C_{2} \\ ∴ C_{2} = - \frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h h_{0} L} - \frac{2 \ln (h_{0} L)}{Δ h} \end{matrix}

$\begin{gather} \theta(0) = 0 = \frac{-\Delta hL+h_0L}{(h_0L)^2} + C_1 \\ \therefore C_1 = \frac{\Delta hL-h_0L}{(h_0L)^2} \\ \delta(0) = 0 = \dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta hh_0L}+\dfrac{2\ln(h_0L)}{\Delta h}+C_2 \\ \therefore C_2 = -\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta hh_0L}-\dfrac{2\ln(h_0L)}{\Delta h} \\ \end{gather}$

\begin{aligned} ∴ δ = \frac{6 P}{E b Δ h^{2}} & (\frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h (Δ h x + h_{0} L)} + \frac{2 \ln (Δ h x + h_{0} L)}{Δ h} + \frac{Δ h L - h_{0} L}{(h_{0} L)^{2}} x - \frac{L (Δ h + h_{0})}{Δ h h_{0} L} - \frac{2 \ln (h_{0} L)}{Δ h}) \end{aligned}

$\begin{align} \therefore \delta = \frac{6P}{Eb\Delta h^2}&\left(\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta h(\Delta hx+h_0L)}+\dfrac{2\ln(\Delta hx+h_0L)}{\Delta h}+ \\ \frac{\Delta hL-h_0L}{(h_0L)^2}x-\dfrac{L(\Delta h+h_0)}{\Delta hh_0L}-\dfrac{2\ln(h_0L)}{\Delta h}\right) \end{align}$

$h_0 = 200\ \text{mm}$ $h_1 = 100\ \text{mm}$ $b = 100\ \text{mm}$ $L = 10\ \text{m}$ $E = 10000\ \text{MPa}$ $P = 1\ \text{kN}$

Ho simulato il raggio tagliandolo in segmenti discreti, ognuno con una sezione trasversale uniforme diversa. Per testare la sensibilità, ho realizzato due modelli: uno con dieci segmenti e uno con venti. Ecco i risultati:

Usando l'equazione ottenuta sopra, ho ottenuto 81,78 mm, per un errore dell'1% rispetto ai modelli. Date quelle sono approssimazioni, sembra piuttosto buono.

$1\ \text{kN}/81.78\ \text{mm} = 12.2\ \text{kN/m}$

$t_{f,top}$ $b_{f,top}$ $t_{f,bot}$ $b_{f,bot}$ $t_{w}$ $h_{w}$

Questo è il motivo per cui la soluzione più comune quando si tratta di sezioni variabili è fare come me: dividere il raggio in segmenti discreti, ognuno con una sezione trasversale interpolata diversa. Alcuni programmi FEA professionali lo rendono facile e alcuni hanno anche sezioni variabili integrate, ma non so come siano implementate.

— Wasabi
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