Statica - Volume di una rivoluzione [chiuso]

Il problema indicato richiede il volume della figura indicata di seguito

Hai una figura piana che forma in qualche modo un paraboloide a base a due circolari con raggi rispettivamente di 20 e 12 cm e un'altitudine di 16 cm quando ruota attorno all'asse y. Secondo il libro, la risposta è di 15.388 centimetri cubici e la mia risposta al mio primo tentativo è stata di 4352pi cubici. Vorrei sapere se questo è un errore dell'autore o il mio.

Ho usato il teorema di Pappus-Guldinus II - Il solido della rivoluzione per calcolare manualmente e ho usato la formula di un paraboloide a due basi per verificare la risposta. Ma ho comunque ottenuto 4352pi cu cm.

statics

— Jem Celespara
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Benvenuti in ingegneria! Sembra una domanda da fare a casa . Per rispondere a tali domande in questo sito, abbiamo bisogno che tu aggiunga dettagli che descrivano il problema preciso che stai riscontrando. Cosa hai provato a risolvere da solo? Si prega di modificare la tua domanda per includere queste informazioni.

— Wasabi

tl; dr: ho avuto la tua stessa risposta. Sembra che il libro sia sbagliato.

Innanzitutto, dobbiamo risolvere la parabola, supponendo che il vertice sia all'origine: con : darebbe: quindi è l'equazione che guida la parabola.

f (x) = y = a (x - h)^{2} + k

$f(x)=y=a(x-h)^2 +k$

h = k = 0

$h=k=0$

f (20) = y + 16 = a (20)^{2}

$f(20)=y+16=a(20)^2$

f (12) = y = a (12)^{2}

$f(12)=y=a(12)^2$

f (20) - f (12)

$f(20) - f(12)$

a (400) - a (144) = y + 16 - y

$a(400)-a(144)=y+16-y$

a (256) = 16

$a(256)=16$

a = \frac{16}{256} = \frac{1}{16}

$a=\frac{16}{256}=\frac{1}{16}$

y = \frac{1}{16} x^{2}

$y=\frac{1}{16}x^2$

Ora per il centroide della forma composita. Dopo un'attenta analisi dell'immagine dal problema e la nostra equazione parabolica vediamo che la forma è l'area all'interno di una parabola definita dalla nostra formula sopra e delimitata dall'asse e tra le linee e . Sappiamo anche che il centroide di una forma composita attorno all'asse ( ) è: $y$ $y=9$ $y=25$ $y$ $\bar{X}$

\bar{X} = \frac{\sum \bar{x} A}{\sum A}

$\bar{X}=\frac{\sum\bar{x}A}{\sum{A}}$ dove è il centroide attorno all'asse della forma del componente e è l'area del componente forma.

\bar{x}

$\bar{x}$

y

$y$

A

$A$

Utilizzando quanto segue per trovare il centroide di un'area semi-parabolica:

e usando per risolvere per (o ) otteniamo: $y=\frac{1}{16}x^2$ $y$ $h$

\bar{X} = \frac{(\frac{3 (a_{1})}{8}) (\frac{2 (a_{1}) (h_{1})}{3}) - (\frac{3 (a_{2})}{8}) (\frac{2 (a_{2}) (h_{2})}{3})}{(\frac{2 (a_{1}) (h_{1})}{3}) - (\frac{2 (a_{2}) (h_{2})}{3})}

$\bar{X}=\frac{\left(\frac{3(a_1)}{8}\right)\left(\frac{2(a_1)(h_1)}{3}\right)-\left(\frac{3(a_2)}{8}\right)\left(\frac{2(a_2)(h_2)}{3}\right)}{\left(\frac{2(a_1)(h_1)}{3}\right)-\left(\frac{2(a_2)(h_2)}{3}\right)}$

\bar{X} = \frac{(\frac{3 (20)}{8}) (\frac{2 (20) (25)}{3}) - (\frac{3 (12)}{8}) (\frac{2 (12) (9)}{3})}{(\frac{2 (20) (25)}{3}) - (\frac{2 (12) (9)}{3})}

$\bar{X}=\frac{\left(\frac{3(20)}{8}\right)\left(\frac{2(20)(25)}{3}\right)-\left(\frac{3(12)}{8}\right)\left(\frac{2(12)(9)}{3}\right)}{\left(\frac{2(20)(25)}{3}\right)-\left(\frac{2(12)(9)}{3}\right)}$

\bar{X} = \frac{(7.5) (333.333) - (4.5) (72)}{(333.333) - (72)}

$\bar{X}=\frac{\left(7.5\right)\left(333.333\right)-\left(4.5\right)\left(72\right)}{\left(333.333\right)-\left(72\right)}$

\bar{X} = 8.326

$\bar{X}=8.326$

Infine, sappiamo che il volume di un'area trascinata attorno ad un asse è equivalente al volume di quella stessa area estrusa lungo una lunghezza pari alla circonferenza del cerchio tracciato dal centroide mentre ruota attorno a detto asse.

L'area da spazzare è e la circonferenza del cerchio tracciato dal centroide ruotato attorno all'asse y è , dando un volume di o . $333.333-72 = 261.333$ $2\pi(8.326)\approx52.313$ $13,671.3$ $4352\pi$ $cm^3$

— RobertoGuapo
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