Potenza / efficienza del flusso d'aria in espansione

Supponendo, ho una macchina che funziona con aria pressurizzata e fornisce le seguenti misure:

• $ \ dot m $ - flusso di massa attraverso la macchina (uguale per input e output)
• $ p_ {1} $ - pressione di input
• $ T_1 $ - temperatura di ingresso
• $ p_ {2} $ - pressione di uscita
• $ T_2 $ - temperatura di uscita
• $ P_ {mech} $ - potenza di uscita meccanica

Come posso calcolare la potenza $ P_ {fluido} $ che l'aria dà alla macchina? In una prima fase, il flusso di calore attraverso l'alloggiamento della macchina può essere trascurato, ma la sua influenza sul processo è interessante per me.

Bene, ecco qui

1. Dato che non vi è alcun trasferimento di calore verso l'ambiente, indicato dalla mancanza di calore nella macchina, ciò significa che possiamo assumere che il sistema sia adiabatico - un termine di fantasia per nessuno scambio di calore. Questo è importante perché rende le equazioni che possiamo usare in modo molto più semplice.
2. Vogliamo calcolare il potere, che è lavoro nel tempo. $$ P = \ frac {W} {t} $$
3. Il lavoro svolto in un'impostazione di termodinamica è l'integrale della pressione moltiplicato per la variazione di volume $$ W = \ int_a ^ b PdV $$
4. Poiché il nostro sistema è adiabatico, possiamo usare l'equazione $$ PV ^ {\ gamma} = K (costante) $$ che è derivata Qui .
5. Dove la gamma è derivata dalla pressione costante e dai calori specifici del volume costante per il fluido che può essere cercato $$ \ gamma = \ frac {C_p} {C_v} $$

6. Questo ci dà $$ W = K \ int_ {Vi} ^ {Vf} \ frac {dV} {V ^ {\ gamma}} $$

7. L'integrazione dà $$ W = \ frac {K (V_f ^ {1 - {\ gamma}} - V_i ^ {1 - {\ gamma}}}} {1 - {\ gamma}} $$

8. Sostituendo K con Pressione e volume come prima si ottiene $$ W = \ frac {PV ^ {\ gamma} * (V_f ^ {1 - {\ gamma}} - V_i ^ {1 - {\ gamma}}}} 1- {\ gamma}} $$

9. Riorganizzare l'equazione dà $$ W = \ frac {PV * V ^ {\ gamma-1} * (V_f ^ {1 - {\ gamma}} - V_i ^ {1 - {\ gamma}}}} {1- { \ gamma}} $$

10. Poiché il volume è uguale al volume specifico del tempo di massa, che può essere ottenuto dalle tabelle dei fluidi in base alla temperatura e alla pressione, $$ V = m \ nu $$ possiamo inserirlo nell'equazione precedente

11. Che dà $$ W = \ frac {PV ^ {\ gamma} * (m \ nu_f ^ {1 - {\ gamma}} - m \ nu_i ^ {1 - {\ gamma}})} {1 - {\ gamma }} $$ I valori di $ \ nu_i $ e $ \ nu_f $ possono essere trovati dalle tabelle delle proprietà del fluido in questione (aria) in base alle condizioni iniziali e finali per pressione e temperatura

12. All'improvviso, possiamo sostituire m con $ \ dot {m} $ che è massa / tempo e dopo averlo estratto dalle parentesi otteniamo $$ \ frac {\ dot {m} PV ^ {\ gamma} * ( \ nu_f ^ {1 - {\ gamma}} - \ nu_i ^ {1 - {\ gamma}})} {1 - {\ gamma}} $$

13. Che è uguale a $$ \ frac {W} {t} = P $$

E c'è la tua risposta. Molto di questo viene dall'aiuto di hyperphysics , dato che sono un po 'arrugginito dai miei corsi di termodinamica

Spero che questo ti aiuti.