Come devo posizionare due supporti per ripiani per la migliore distribuzione del carico?

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Vorrei montare una mensola sul muro. Ho due supporti scaffali per farlo, in questo modo:

Rispetto allo scaffale, dove posiziono i supporti (blu) per ottenere la migliore distribuzione del carico?

mechanical-engineering statics

— Nico Schlömer
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Ci sono alcuni dettagli che potrebbero essere utili da aggiungere a questa affermazione del problema. Come si fissano i supporti al muro? Sono fisicamente attaccati allo scaffale o poggiano liberamente su di essi? Si estendono per tutta la profondità dello scaffale? Qual è l'uso previsto dello scaffale (ad es. Cose leggere, cose pesanti, un singolo oggetto, il tuo gatto)? Di quale materiale sono realizzati la mensola e i supporti? I supporti sono classificati per gestire un determinato carico? Quali sono le dimensioni del ripiano (o almeno il suo stesso peso)?

— Air

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Come per tutte le cose buone, dipende.

Se puoi presumere che i tuoi supporti siano totalmente rigidi e che il caricamento sullo scaffale sarà approssimativamente uniforme, allora fondamentalmente hai la seguente struttura:

Una sezione rettangolare (come una tavola) si comporterà allo stesso modo in un momento flettente positivo o negativo, quindi il tuo obiettivo dovrebbe essere quello di bilanciare entrambi. Per fare ciò, vuoi che il tuo intervallo principale sia $2\sqrt2 \approx 2.83$ volte i cantilever. Questo si ottiene calcolando il cantilever richiesto per compensare metà del momento flettente a causa di un carico uniforme lungo una trave semplicemente supportata:

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{q L_{m i d}^{2}}{8} - M_{c a n t} \\ M_{c a n t} & = \frac{q L_{c a n t}^{2}}{2} = \frac{M_{m i d}}{2} = \frac{q L_{m i d}^{2}}{16} \\ ∴ 8 L_{c a n t}^{2} & = L_{m i d}^{2} \\ 2 \sqrt{2} L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{qL_{mid}^2}{8} - M_{cant} \\ M_{cant} &= \dfrac{qL_{cant}^2}{2} = \dfrac{M_{mid}}{2} = \dfrac{qL_{mid}^2}{16} \\ \therefore 8L_{cant}^2 &= L_{mid}^2 \\ 2\sqrt2 L_{cant} &= L_{mid} \end{align}$

Se il ripiano può essere vuoto, ad eccezione di un singolo carico concentrato ovunque, è necessario trovare i punti per i supporti in cui il momento di flessione massimo dovuto a un carico concentrato ai bordi sarà uguale a quello di un carico a metà pan.

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ M_{c a n t} & = P L_{c a n t} = M_{m i d} = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ ∴ 4 L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ M_{cant} &= PL_{cant} = M_{mid} = \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ \therefore 4L_{cant} &= L_{mid} \\ \end{align}$

Prendendo una media dei due casi precedenti, ad esempio, adotterò una campata principale circa 3,5 volte più grande dei cantilever.

Se i tuoi supporti sono allentati, il che significa che non reggeranno lo scaffale se sollevato, quindi c'è il rischio che si ribalti con un carico eccessivo su un cantilever, quindi devi calcolare il carico massimo a cui il peso del tuo scaffale può resistere . Ci sono troppe variabili per capirlo banalmente (peso lineare della piattaforma, peso massimo adottato, ecc.). E, onestamente, se i tuoi supporti sono allentati, dovresti semplicemente mettere i supporti alle estremità, eliminando completamente questo rischio (ma riducendo quindi il carico massimo a cui lo scaffale resisterà).

_{Diagrammi ottenuti con Ftool , un programma gratuito di analisi di frame 2D.}

— Wasabi
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Esistono diversi criteri da considerare:

Per distribuire il carico in modo più uniforme tra i due supporti, separarli il più possibile. Sarebbe alla fine in questo caso.
L'oggetto pesante nel caso peggiore posto ad un'estremità senza nient'altro sullo scaffale non deve capovolgere lo scaffale. Ciò pone un limite su quanto lontano possono essere i supporti.
La resistenza del ripiano deve essere maggiore per supportare lo stesso carico dei supporti spostati più lontano. In questo caso, considerare il carico del caso peggiore posizionato esattamente al centro. Anche se lo scaffale è abbastanza forte da non essere danneggiato da un tale carico, la curva risultante potrebbe essere discutibile per te.

Solo tu puoi decidere come questi vari criteri in competizione si scambiano nel tuo caso.

— Olin Lathrop
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Una correzione: contrariamente al n. 1, purché i supporti siano posizionati simmetricamente, il carico sarà sempre distribuito uniformemente tra di loro. E # 2 si applica solo se i supporti sono allentati (non sono in grado di gestire la tensione).

— Wasabi

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@Was: Perché il tuo numero 1 sia vero, il carico sullo scaffale deve essere distribuito uniformemente sullo scaffale. Questo non è realistico per uno "scaffale" non specificato. Sono d'accordo su # 2. Tuttavia, molti supporti per scaffali sono solo qualcosa su cui appoggiare lo scaffale, quindi la mancia è un problema. Anche in caso contrario, il supporto che non ha un carico negativo ottiene più del pieno carico, quindi deve essere progettato in modo più robusto. L'ho tenuto semplice e non ho approfondito tutto ciò, che sembrava essere più in linea con il livello della domanda.

— Olin Lathrop il