Principio del lavoro virtuale contro il (secondo) teorema di Castigliano

Ho dato un'occhiata online e alla letteratura, tuttavia non mi è sembrato di trovare un buon confronto tra i due diversi metodi. Sono entrambi usati per determinare spostamenti e pendenze (rotazione di theta) in un punto di un continuum. L'ex utilizza una forza unitaria virtuale che equivale all'energia di deformazione nell'elemento (quando moltiplicata per lo spostamento di interesse) e quest'ultima utilizza il differenziale rispetto a una forza virtuale che tende a zero.

Quale è più efficiente e quale è più preciso? Perché scegliere Virtual Work piuttosto che Castigliano o viceversa?

Risposta breve: Castigliano offre soluzioni rapide e precise in alcuni punti chiave di una grande struttura complessa, mentre il lavoro virtuale fornisce modelli approssimativi utilizzabili a sistemi complessi che altrimenti sarebbero irrisolvibili.

Il teorema di Castigliano e il lavoro virtuale sono due facce della stessa medaglia matematica. I metodi di Castigliano precedono il lavoro virtuale, ma iniziano i principi fondamentali del lavoro virtuale. Rappresenta la metà più semplice del lavoro virtuale, in cui gli spostamenti potrebbero essere risolti tramite analisi lineare, ma utilizziamo il lavoro virtuale per ottenere la risposta più velocemente. Il lavoro virtuale è descritto per la seconda metà, dove non siamo riusciti a risolvere gli spostamenti con analisi lineare (senza risolvere equazioni differenziali e inserire un mucchio di coefficienti), e invece facciamo affidamento sul lavoro virtuale per trovare una buona risposta approssimativa che si adatta a molti dei le condizioni al contorno.

Come detto sopra, nella maggior parte delle applicazioni di ciò che gli ingegneri usano per il metodo di Castigliano, il principio principale è quello di utilizzare ciò che è noto dalla teoria del fascio elastico lineare o della teoria della capriata (può essere utilizzato in molteplici aspetti per queste strutture) e risolvere rapidamente per una struttura sottoposto a forze molto insolite. Un'equazione per le forze è scritto in termini di molte forze sconosciute della struttura staticamente determinato, e quindi vengono rimossi le forze sconosciute. Viene applicata una delle forze sconosciute (o inusuali, ma note) e i modelli e le tabelle lineariusato per forze singole può dirci rapidamente lo spostamento effettivo in vari punti della struttura. La singola forza può comportare 500 newton di forza in un punto di reazione per newton della forza originale o 5 newton. Questo è registrato. La forza sconosciuta viene rimossa e una nuova forza viene aggiunta e testata. Una volta trovate tutte queste reazioni e forze, il metodo di Castigliano può quindi risolvere quale sarebbe la deflessione finale per l'intero stato di carico, che potrebbe non essere trovato in una tabella di stati di carico risolti. Ciò è particolarmente utile nel caso in cui ci siano supporti elastici, supporti che si flettono in base a quanta forza si applicano, che accade in qualsiasi sistema reale. L'unico limite di questo approccio è quanto siano dettagliate le tabelle e il principio di sovrapposizione. Finché il sistema può essere trattato mediante sovrapposizione,

Il principio del lavoro virtuale si estende oltre questo principio: l'idea è invece semplicemente di scrivere un'equazione per gli spostamenti con coefficienti sconosciuti. Potrebbe essere la soluzione al DE governante, oppure potrebbe essere del tutto imprecisa, ma deve essere in grado di risolvere tutte le condizioni al contorno (al punto A, lo spostamento è 0, ecc.). Per i raggi, prendendo la seconda derivata dell'equazione di spostamento si ottiene l'equazione del momento, prendendo i terzi risultati nell'equazione di taglio. Per piastre e altri continuum, lo spostamento è la deformazione per la lunghezza. Eventuali termini di stress possono essere scritti come tensore della rigiditàvolte la tensione, quindi l'intero lavoro virtuale può essere espresso semplicemente in termini della nostra equazione di spostamento sconosciuta, in linea di principio. Quindi, il lavoro è semplicemente quello di risolvere quei coefficienti sconosciuti in modo tale da minimizzare il lavoro virtuale (sia nell'energia potenziale per i sistemi statici, sia nella somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica per i sistemi dinamici).

Un esempio di questo è spesso fornito con le equazioni utilizzate per l'analisi degli elementi finiti, dove invece delle equazioni di spostamento normalmente quartiche, viene utilizzata un'equazione cubica per lo spostamento. Questo perché abbiamo al massimo due gradi di libertà per le rotazioni e due gradi di libertà per gli spostamenti, quindi il massimo che possiamo avere sono quattro coefficienti sconosciuti - un'equazione cubica. Si noti che ciò significa che una FEA deve quindi dividere un carico distribuito in carichi puntuali che consentono all'equazione cubica di avere le stesse deflessioni della quartica originale. Questo è ciò che fa sì che i singoli elementi non mostrino le stesse deviazioni di medio raggio del quartico originale:

Anche senza sovrapposizione, si applica ancora il principio del lavoro virtuale, a condizione che il tensore della rigidità sia responsabile del cambiamento di stress per quanto riguarda la tensione. Ciò può richiedere un'equazione di stress sconosciuta indipendente , da utilizzare al posto del tensore della rigidità. Variazioni di questo tipo sono utilizzate in molti campi dagli ingegneri che devono realizzare modelli matematici dei loro sistemi, che costituiscono la base per praticamente tutti i metodi agli elementi finiti. In sintesi, Castigliano offre soluzioni rapide e precise in alcuni punti chiave di una grande struttura complessa, mentre il lavoro virtuale fornisce modelli approssimativi utilizzabili a sistemi complessi che altrimenti sarebbero irrisolvibili.