Derivazione per la stima della frequenza naturale del ponte in Eurocodici

Gli Eurocodici forniscono la seguente equazione per stimare un "ponte semplicemente supportato soggetto a sola flessione" *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Dove

• è la frequenza naturalein hertz$n_0$
• è la deflessione a metà corsa in azioni permanentiin mm$\delta_0$

L'equazione sembra essere presa dal nulla, e non vi è alcuna spiegazione da dove provenga la costante 17.75. Come ingegnere detesto usare una formula che non capisco, ma soprattutto sarebbe utile imparare i fondamenti dietro di essa in modo da poter vedere se può essere modificato per lavorare con altre condizioni di supporto.

Qualcuno può fornire una derivazione / origine fondamentale a questa relazione?

* Il riferimento completo è: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Nota 8] (Equazione 6.3), se questo aiuta.

Se semplifichiamo l'intero ponte in un raggio sottile 2D con una sezione costante, senza smorzamento interno e soggetto solo a piccole deflessioni verticali, la frequenza naturale viene determinata da un semplice movimento armonico:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Dove è la frequenza naturale, k è il rapporto tra forza riparativa e deformazione (l'equivalente "rigidità della molla") e m è la massa per unità di lunghezza del raggio.$n_0$$k$$m$

In una trave la forza riparativa è la cesoia interna causata dalla forma deviata. Poiché la forza esibita da un raggio è proporzionale alla velocità di variazione di taglio, che è correlata alla rigidità ( ) e alla velocità di variazione del momento , può essere mostrata (nota: la deflessione è proporzionale alla lunghezza della fascio) che:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Dove è il modulo di Young del materiale del raggio, I è il secondo momento d'inerzia della sezione del raggio, L è la lunghezza del raggio e α è una costante determinata dalle condizioni di supporto e dal numero di modalità della risposta.$E$$I$$L$$\alpha$

Tutta la letteratura che ho visto lo esprime in un modo più conveniente per l'equazione di frequenza:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Sostituendo,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

Il calcolo del valore di è abbastanza coinvolto e esiste un approccio esatto per soluzioni semplici e metodi approssimativi tra cui il metodo dell'energia libera e Raleigh Ritz. Alcune deviazioni per una trave semplicemente supportata possono essere trovate qui .$K$

Va notato che questa equazione sarebbe stata sufficiente, ma poiché richiede una tabella per e il calcolo di un valore di E I che rappresenta il ponte come un raggio omogeneo, gli autori dell'Eurocodice sembrano aver deciso che sarebbe stato reintegrare meglio l'ipotesi che k sia costante lungo il raggio.$K$$EI$$k$

Per fare ciò hanno usato la seguente relazione:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

$\delta_0$$C$$w$

$w = gm$$g$

Pertanto (riorganizzato :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

E così:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

$K$$C$

Per una trave semplicemente supportata:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Ecco una possibile risposta.

Ho trovato questo documento (non sono sicuro della fonte esatta), che contiene una derivazione correlata:

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Ulteriori informazioni al riguardo sono contenute nel libro di Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Se leggi il capitolo 4, vedrai la formula 4.53 a pagina 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Questa equazione segue dalla formula per la deflessione del midspan di una trave semplicemente supportata caricata da un carico uniformemente distribuito μg

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

che è sostituito in

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Sostituendo queste equazioni tra loro usando g = 9,81 m / s ^ 2 si ottiene

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

La valutazione numerica di questa equazione produce l'equazione desiderata.

Le dinamiche per gli ingegneri come me, generalmente interessate alla statica, possono essere irte di errori facili e incomprensioni. Questa formula è molto utile per le travi semplicemente supportate poiché può essere rapidamente correlata ai carichi di peso proprio applicati e ad una percentuale di carico vivo (generalmente il 10%) senza doversi presentare complicazioni.

Anche i cantilever possono usare una costante simile (19.8 con udl, 15.8 con carico del punto finale). Tutto si rompe con travi e cornici continue.

Costruisco un controllo di frequenza naturale con tutti i progetti di travi per tenerne traccia. Per le strutture in legno, ad esempio, 8Hz è l'obiettivo e per i pavimenti in calcestruzzo / telai in acciaio 4-6Hz - come primo passaggio.

Esistono anche metodi approssimativi e pronti per la valutazione di risposte dinamiche. Devo dire che la dinamica sfugge ancora e mi confonde e lo farà sempre! Quindi rimango il più semplice possibile.