Come calcolare la forza della leva quando la leva ha un carico distribuito uniforme?

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Abbiamo una semplice leva di classe 1:

\begin{matrix} 5,000 kg \\ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ \\ ==================== \\ △ \\ ⊢ 1 m ⊣⊢ 4 m ⊣ \end{matrix}

$\begin {array}{c} \text {5,000 kg} \\ \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \\ ==================== \\ \hphantom {==} \triangle \hphantom {==============} \\ \vdash \text{1 m} \dashv \vdash \hphantom {======} \text{4 m} \hphantom {======} \dashv \\ \end {array}$

La leva ( ) è lunga 5 m. Il fulcro ( ) si trova a 1 m da un'estremità della leva. La leva ha un oggetto posizionato uniformemente su di esso del peso di 5.000 kg. $===$ $\triangle$

Come calcolo la forza verso l'alto che deve essere esercitata all'estremità del lato 1 m della leva per mantenere ferma la leva? è semplice quando il peso viene applicato all'estremità della leva. Ma cosa succede se il peso è distribuito lungo la leva? $F = (W \times X)/L$

Il nostro obiettivo finale è quello di legare l'estremità libera (sul lato 1m) per mantenere il livello della leva e dobbiamo sapere quanto forte dovrebbe essere il cavo.

mechanical-engineering statics

— furgone
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Dato che la massa è di 5k kg e la leva di 5m, questo semplifica abbastanza perché è esattamente 1k kg per m.

Il 2k kg (2m) più a sinistra della massa ha il suo centro di massa esattamente sopra il fulcro, quindi può essere ignorato in quanto non fornisce alcun contributo al momento. Questo lascia 3k kg (3m) sparsi da 1m a 4m sul lato destro. Il centro di massa sarà quindi a 2,5 m.

Ora è super-semplice, supponendo che tu voglia il momento in cui la leva è a livello (cioè quando la gravità sta tirando verso il basso, perpendicolare alla leva):

torque = r F = r m g

$\text{torque} = rF = rmg$

$r$ è il raggio (distanza) in m (2,5).
$m$ è la massa in kg (3000).
$g$ è l'accelerazione dovuta alla gravità in (9.80665). $\text{ms}^{-2}$

torque = 2.5 * 3000 * 9.80665 = 73549.875 Nm

$\text{torque} = 2.5 * 3000 * 9.80665 = 73549.875 \text{ Nm}$

Poiché la modifica / aggiornamento indica che stai cercando la forza verso l'alto all'estremità di 1m, questa sarà la coppia (dall'alto) divisa per la distanza (1m). Che è quindi 73549.875 N.

— jhabbott
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Molto più facile e meno soggetto a errori sarebbe dimenticare di "cancellare" pezzi di massa, e usare solo il fatto che è possibile modellarlo come una massa di punti di 5000 kg a 1,5 m dal fulcro! E, in effetti, . Come diceva Einstein : tutto dovrebbe essere reso il più semplice possibile, ma non più semplice. Hai provato a renderlo "più semplice", ma alla fine hai fatto di più!

5000 * 1.5 = 3000 * 2.5

$5000*1.5=3000*2.5$

— Sanchises,

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In qualsiasi situazione continua, usi semplicemente l'integrazione. La densità di massa lineare del blocco è 1000 kg / m. Ora puoi esprimere la coppia dovuta a una fetta infinitesimale dell'asta di larghezza nella posizione come dove viene misurata dal fulcro. Infine, puoi semplicemente sommare tutte le piccole coppie di ogni fetta infinitesimale con l'integrazione. $\lambda=\frac{m}{\ell}=$ $dx$ $x$

d τ = (λ d x) * x * g

$d\tau=(\lambda dx) * x * g$

x

$x$

τ = λ g \int_{- 1}^{4} x d x = 7.5 g λ = 73.5 kN*m

$\tau = \lambda g\int_{-1}^{4}x\ dx=7.5\ g\lambda=73.5\ \text{kN*m}$

— Chris Mueller
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Per rispondere alla nuova domanda, che è piuttosto diversa dalla domanda originale, avrai bisogno di una forza verso il basso di 7500 g N sulla punta sinistra per bilanciare le forze.

Prendendo dei momenti sul tuo supporto (che ora è davvero un perno):

F_{LHS free end} * 1 = 5000 * g * 1.5

$F_{\text{LHS free end}} * 1 = 5000*g * 1.5$

F_{LHS free end} = 7500 * g N

$F_{\text{LHS free end}} = 7500*g \text{ N}$

In altre parole, sì, puoi considerare il tuo carico distribuito come un carico puntuale che agisce al centro del raggio. Puoi dimostrarlo risolvendolo integrando il carico distribuito.

— thepowerofnone
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Un carico distribuito uniformemente può essere considerato agire al suo centro. Lavorando in kg e m:

Momento in senso orario sull'estremità sinistra = 5000 * 2,5 = 12500 Momento in senso antiorario sull'estremità sinistra = F * 1 (dove F è la reazione al fulcro)

Questi devono essere uguali per essere bilanciati, dando F = 12500 kg

Risolvendo verticalmente (la forza totale verso il basso deve essere uguale alla forza totale verso l'alto), prendendo T come reazione sul cavo: T + 5000 = 12500, quindi T = 7500 kg.

O convertendo in N (come dici di volere una forza, e kg non è la massa non forza) quindi T = 7500 * 9,81 = 73575 N = 73,6 kN

— AndyT
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L'effetto di qualsiasi bit di forza lungo una leva è proporzionale alla sua distanza dal fulcro. Questa bella relazione lineare funziona in modo tale che per una massa rigida, puoi semplicemente modellarla come massa puntuale al suo centro di massa.

Per gli effetti del peso (forza dovuta alla massa e alla gravità), è puramente la distanza orizzontale dal fulcro al centro della massa che conta. Se si definisce X a destra e Y in alto nel diagramma, la coordinata Y della massa è irrilevante. Si noti, tuttavia, che quando la leva si muove, anche la coordinata X della massa si sposta, specialmente quando non si trova proprio sul braccio della leva. Per i piccoli movimenti della leva, puoi ignorarlo.

Detto più matematicamente, la coppia sul fulcro è il vettore dal fulcro al centro della massa, attraversa la forza gravitazionale su quella massa. Poiché quest'ultimo è sempre in basso (-Y) in questo esempio, solo la componente X del vettore rispetto alla massa è importante per ottenere la grandezza del toque.

— Olin Lathrop
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