Come si può calcolare la variazione di energia termica quando il calore specifico varia con la temperatura?

Molti materiali hanno un calore specifico che varia con la temperatura, specialmente quando il cambiamento di temperatura aumenta. Come si calcola l'energia termica che un oggetto riceve in questo caso? Possiamo semplicemente usare la capacità termica specifica alla temperatura iniziale o alla temperatura finale?

Allo stesso modo della mia risposta sul calcolo della forza della leva in una situazione continua ; devi usare l'integrazione.

Si inizia prendendo la legge di calore standard che si ha familiarità con e sostituendo il Δ s con differenziali: d Q = c ( T ) m d T . Questa nuova equazione recita: Per un cambiamento infinitesimale (molto piccolo) di temperatura, ottengo un cambiamento infinitesimale (molto piccolo) di calore. Nel limite degli infinitesimi tutto è lineare, quindi questa semplice equazione lineare vale ancora. Ora riassumi semplicemente tutte le variazioni infinitesime del flusso di calore usando l'integrazione Δ Q = m ∫ T

$$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$$ $\Delta$ $$dQ=c(T)\ m\ dT.$$ Se in realtà non vuoi fare l'integrazione, va bene. Matlab non avrà problemi a farlo per te, e l'approccio Matlab funziona anche se non hai una funzione analitica per descriverec(T)(cioè hai solo dati). Se non hai accesso a Matlab, usaPython. È gratuito, open source e incredibilmente potente. $$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$$ $c(T)$

Nessuno dei due. In questo tipo di situazione, non esiste una soluzione lineare "semplice"; è necessario utilizzare il calcolo integrale per sommare il calore incrementale assorbito a ciascuna temperatura lungo il percorso. L'unica volta in cui questo calcolo diventa una semplice moltiplicazione è quando la quantità da integrare (il calore specifico) è una costante nell'intervallo dell'integrazione.

Nessuno dei due.

Come è già stato sottolineato, questo non è banale da fare, ma ecco un metodo suggerito:

1. misurare accuratamente una certa quantità di carburante, quindi bruciarlo e utilizzare un materiale con una capacità termica specifica molto costante o altrimenti ben nota per determinare quanta energia il tuo campione sta ricevendo nel tempo registrando la sua temperatura.
2. utilizzare la stessa quantità di carburante, nello stesso apparato, con un pezzo di prova con proprietà geometriche identiche ma un materiale diverso e ripetere l'esperimento. Questa volta si assume l'energia ricevuta dal campione in base al passaggio 1 e si utilizza la temperatura registrata per determinare la capacità termica specifica del materiale.
3. ora che hai la curva di capacità termica specifica per questo materiale, usala come qualsiasi altro materiale ma integra la tua curva nell'arco di temperatura misurato per determinare la quantità di energia termica assorbita.

Questo metodo non è perfetto, si basa su una sovrapposizione lineare che non è perfettamente valida per la temperatura poiché alcuni fattori di scambio termico hanno una dipendenza non lineare, ma non è un cattivo metodo per "calibrare" il materiale a livello base.

Proverei ad adattare il materiale a un modello.
Il modello Debye è lo "standard". (mi dispiace che l'articolo wiki sia un po 'esagerato.) Nel modello Debye il materiale può essere adattato con una "temperatura di Debye".

Modifica su richiesta. (tuttavia, mi fiderei dell'articolo wiki sulla mia risposta.) A temperature elevate, (ma non troppo alte) i materiali hanno una capacità termica pari a 3kT * N, dove N è il numero di atomi. (Sono solo gli atomi e non gli elettroni che contano per la capacità di calore, il che è interessante ...) Man mano che la temperatura scende, gli atomi smettono di tremare così tanto e alcune modalità vibrazionali si "congelano". Le modalità sono ad un'energia così alta che non c'è abbastanza energia termica per eccitarle. La temperatura di Debye è una misura approssimativa di dove le modalità si bloccano e la capacità di calore inizia a diminuire.

$Cp=f(T)$

$$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$$

$Cp(T_i)$$Cp(T_f)$

$$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$$ $$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$$ $Cp$