Equazione del moto del disco circolare rigido

Sto lavorando a un incarico e ho un dubbio in una fase del mio problema. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capirlo?

Domanda e la sua soluzione è:

. Il mio dubbio è nella parte sottolineata. In che modo il 2o termine è diventato zero? Anche. come hanno calcolato il vettore del momento esterno? Se qualcuno può spiegare questi passaggi sarebbe molto utile.

PS: Se questo non è il forum corretto per porre tale domanda, mi scuso.

mechanical-engineering vibration

— Preeti Srivastava
fonte

Basta elaborare i prodotti vettoriali e tensore, usando il fatto che solo un componente di è diverso da zero. In realtà dovresti essere in grado di vederlo senza risolvere completamente nulla, perché i vettori e sono paralleli.

\vec{ω}

$\overrightarrow\omega$

\vec{ω}

$\overrightarrow\omega$

J \vec{ω}

$\mathbf{J}\overrightarrow\omega$

— alephzero,

Grazie. Sono stato in grado di capirlo. Stupido da parte mia non vederlo direttamente. Ma non riesco ancora a ottenere il vettore del momento esterno.

— Preeti Srivastava,

In che modo il secondo termine è diventato zero?

Ricordiamo che il prodotto incrociato di vettori e è un vettore che rappresenta l'area del parallelogramma attraversata da e nella direzione perpendicolare sul parallelogramma. $\vec{a}$ $\vec{b}$ $\vec{a}$ $\vec{b}$

\begin{aligned} \vec{ω} (t) \times J \vec{ω} (t) & = (\begin{matrix} 0 \\ ω_{y} \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} J_{x} & 0 & 0 \\ 0 & J_{y} & 0 \\ 0 & 0 & J_{z} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ ω_{y} \\ 0 \end{matrix}) \\ = \underset{\vec{a}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ ω_{y} \\ 0 \end{matrix})}} \times \underset{\vec{b}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ J_{y} ω_{y} \\ 0 \end{matrix})}} \\ = \vec{0} \end{aligned}

$\begin{align} \vec{\omega}(t) \times \mathbf{J}\vec\omega(t) &= \begin{pmatrix} 0 \\ \omega_y \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} J_x & 0 & 0 \\ 0 & J_y & 0 \\ 0 & 0 & J_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \omega_y \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ \omega_y \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{a}} \times \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ J_y\omega_y \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{b}} \\ &= \vec{0} \end{align}$

Si noti che in questo caso i vettori e sono paralleli, quindi l'area del parallelogramma che attraversano è e quindi anche il prodotto incrociato è zero. $\vec{a}$ $\vec{b}$ $0$

Come hanno calcolato il vettore del momento esterno?

C'è solo una forza esterna presente in questo sistema, la forza portante Il momento in cui queste forze causano il centro di gravità è

\vec{F} = (\begin{matrix} A_{x} \\ 0 \\ A_{z} \end{matrix}) .

$\vec{F} = \begin{pmatrix} A_x \\ 0 \\ A_z \end{pmatrix}.$

\begin{aligned} {\vec{M}}_{C} & = {\vec{r}}_{C} \times \vec{F} \\ = (\begin{matrix} r_{x} \\ r_{y} \\ r_{z} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} A_{x} \\ 0 \\ A_{z} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} A_{z} r_{y} - 0 r_{z} \\ A_{x} r_{z} - A_{z} r_{x} \\ 0 r_{x} - A_{x} r_{y} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} \vec{M}_C &= \vec{r}_C \times \vec{F}\\ &= \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} A_x \\ 0 \\ A_z \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} A_z r_y - 0 r_z \\ A_x r_z - A_z r_x \\ 0 r_x - A_x r_y \end{pmatrix} \end{align}$

Supponendo che risultato $r_y = 0$

{\vec{M}}_{C} = (\begin{matrix} 0 \\ A_{x} r_{z} - A_{z} r_{x} \\ 0 \end{matrix})

$\vec{M}_C = \begin{pmatrix} 0 \\ A_x r_z - A_z r_x \\ 0 \end{pmatrix}$

Si noti che la rotazione è in senso orario e non in senso antiorario come sarebbe stata usando un sistema di coordinate destrorso. Pertanto, il momento esterno deve essere definito nella direzione opposta $\varphi_y$

\vec{I} = - {\vec{M}}_{C} = (\begin{matrix} 0 \\ - A_{x} r_{z} + A_{z} r_{x} \\ 0 \end{matrix}) .

$\vec{\mathbf{I}} = -\vec{M}_C = \begin{pmatrix} 0 \\ -A_x r_z + A_z r_x \\ 0 \end{pmatrix}.$

— Organismo guidato dal caffè
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