Una legge lineare elastica di sforzo-deformazione può essere espressa in forma libera coordinata come $$
\ boldsymbol {\ sigma} = \ mathsf {C}: \ boldsymbol {\ varepsilon}
$$ dove $ \ Boldsymbol {\ sigma} $ è lo stress di Cauchy (un tensore di secondo ordine), $ \ Mathsf {C} $ è il tensore della rigidezza (un tensore del quarto ordine), e $ \ Boldsymbol {\ varepsilon} $ è il piccolo tensore del ceppo (un tensore del secondo ordine).
Espressi in termini di componenti covarianti, i tensori di secondo ordine possono essere scritti nel modulo $$
\ boldsymbol {\ sigma} = \ sigma_ {ij} \, \ mathbf {g} ^ i \ otimes \ mathbf {g} ^ j
$$ dove $ \ Mathbf {g} ^ i $ sono i vettori di base reciproci in coordinate curvilinee.
Allo stesso modo, il tensore del quarto ordine può essere espresso come $$
\ mathsf {C} = C_ {ijkl} \, \ mathbf {g} ^ i \ otimes \ mathbf {g} ^ j \ otimes \ mathbf {g} ^ k \ otimes \ mathbf {g} ^ l
$$
In generale le coordinate curvilinee, le espressioni per la matrice di rigidezza diventano estremamente complicate. Tuttavia, questi possono essere semplificati utilizzando una base ortonormale locale. In tal caso, la base reciproca semplifica a livello locale euclideo, cioè, $$
\ mathsf {C} = C_ {ijkl} \, \ mathbf {e} ^ i \ otimes \ mathbf {e} ^ j \ otimes \ mathbf {e} ^ k \ otimes \ mathbf {e} ^ l
$$
La maggior parte degli elementi di shell usa matrici di rigidezza che sono espresse in una base ortonormale locale in ciascun punto.
Poiché gli stress sono spesso (ma non sempre) assunti pari a zero attraverso lo spessore (il $ Z $ -direction nella domanda?), è sufficiente usare proprietà elastiche lineari nelle direzioni del piano con correzioni per l'ipotesi di zero-stress. Ovviamente, dovrai assicurarti che il sistema di coordinate corretto sia utilizzato in ogni punto.