Come calcolare la stabilità di un treppiede?


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Ho progettato un tavolo treppiede circolare da 800 mm (31,5 "), il piano è in pietra e pesa 40 kg (88 lbs). L'altezza del tavolo è di 750 mm (29,5"). C'è una colonna centrale con i piedi del treppiede più in basso che toccano il pavimento di 108 mm (4.25 ") dal bordo esterno del piano del tavolo se si guarda in piano Il fulcro creato da due dei piedi è una linea di 240 mm (9.5" ) al bordo del tavolo nel suo punto più largo.

Domanda : Quanto peso può essere messo sul bordo del tavolo prima che la tavola si ribalti, e quanto può aumentare questo peso se i piedi toccano 90 mm (3.5 ") dal bordo esterno? (In questo caso la linea di fulcro sarebbe ora essere circa 230 mm (9 "))

Risposte:


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Penso che (con una certa semplificazione) dovrebbe essere 23 kg.

E questo è il motivo:

ipotesi:

  • le gambe sono senza peso
  • la massa del tavolo è una punta al centro del tavolo
  • il tavolo si rovescia sulla linea di collegamento tra due gambe

Per prima cosa facciamo un bilancio di slancio:

$$ \ Begin {align} \ Sigma M & amp; = 0 \\ \ Sigma M & amp; = F \ cdot (400 mm -d) - 40 kg \ cdot d \\ \ rightarrow F & amp; = \ frac {40kg \ cdot d} {400mm-d} \ End {align} $$

Ora, qual è $ d $? È la distanza (al momento) sconosciuta dalla linea del fulcro (considerando che il tavolo non si rovescia su uno, ma su due gambe). Calcoliamolo $ d $!

Sappiamo che le gambe del tavolo hanno un angolo di 120 ° tra loro. Vogliamo l'altezza del triangolo composta da due gambe e la linea di collegamento tra loro. Il nostro triangolo rettangolare è costruito dall'altezza del triangolo precedente, metà della linea di collegamento e una distanza della gamba dal centro (che è 400 mm - 108 mm = 292 mm e ora l'ipotenusa). L'angolo è diviso a metà, quindi il suo 60 °. Ora possiamo calcolare l'altezza (ora la gamba adiacente all'angolo) di $$ d = cos (60 °) \ cdot 292 mm = 146 mm $$ Ora possiamo risolvere il bilancio della quantità di moto:

$$ F = \ frac {40kg \ cdot 146mm} {400mm - 146mm} = 22.992 kg $$

Correggimi se sbaglio. (alcune foto potrebbero aiutare ...)

Per la nuova configurazione potrebbe essere aumentato di 2.314 kg (puoi calcolarlo da solo ...: P)


Parte della massa del tavolo sarà dall'altra parte del fulcro e quindi agirà nell'altra direzione. Quale non penso che spieghi.
nivag

No, è molto semplice. La semplificazione delle mie ipotesi non tiene conto della massa distribuita ...
Knigge46

Anche l'OP dà il fulcro a 160 mm dal centro anche se il tuo calcolo qui sembra corretto.
nivag

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Penso che sia una significativa oversimplfication in questo caso. A meno che non abbia sbagliato la mia risposta, ottengo quasi il doppio del carico.
nivag

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@AndyT Penso che questa risposta sia quella giusta. A meno che non si inizi a parlare del momento di inerzia (ad es. Se volessimo scoprire la stabilità dinamica) non vi è alcun motivo per non ammassare la massa del tavolo al centro del piano del tavolo.
regdoug

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La domanda non è abbastanza coerente internamente.

Il tavolo ha un raggio di 400 mm e i piedini sono apparentemente su un cerchio del raggio di 292 mm (poiché sono a 108 mm dal bordo). Per semplice trig, la linea di fulcro è quindi 292cos (60) dal centro del cerchio, che è 146 dal centro, che è 254mm dal bordo (la domanda afferma che è 240mm).

Però:

Se le gambe e la parte superiore sono sostanzialmente rigide (cioè, piccole deviazioni - non si piegano così tanto che la loro forma in pianta cambia) la massa del tavolo si comporta al centro, quindi il momento di massa della cima è 40 kg x 146 mm = 5840 kgmm circa sulla linea di fulcro.

In questo modo, per un momento, si equilibra il tavolo (mettilo sul punto di rovesciare il fulcro). Quindi la massa che possiamo mettere lì è 5840/254 = 22,99 kg.

Se 90mm dal bordo, il cerchio del passo dei piedi ora ha un raggio di 310mm, il fulcro è 155mm dal centro e 245mm dal bordo, quindi possiamo trasportare 40x155 / 245 = 25,31 kg, ovvero 2,32 kg in più.

Questo è stato il modo semplice, ed è già avanzato in una risposta (Knigge46), ma puoi fare il calcolo del momento di stabilizzazione nel modo più difficile, se ti piace:

Considera una striscia arbitraria di tavolo, parallela alla linea del fulcro, larghezza delta-x. Per pitagora la lunghezza di questa striscia è 2 (r ^ 2-x ^ 2) ^. 5 dove r è raggio del tavolo e x è la distanza perpendicolare dalla striscia al centro.

Sia f l'offset tra il centro del tavolo e la linea di fulcro. Sia d la densità areale della cima. Quindi il momento di questa striscia attorno alla linea del fulcro è d. 2 (r ^ 2-x ^ 2) ^. 5. (x-f) delta-x, che è possibile sommare l'intero piano del tavolo o passare da una sommatoria a un'integrazione semplicemente cambiando il delta-x in un dx.

Se si esegue questa integrazione per x da -r a r, si ottiene -5.840kgm, o 5840 kgmm, la stessa risposta di trattare il piano come una massa puntiforme al centro

Se vuoi fare i contributi stabilizzanti e destabilizzanti dall'alto puoi farlo integrando diversi intervalli:

stabilizzando, (-r & lt; = x & lt; f) dà -6.986kgm

destabilizzante (oltre il fulcro) (f & lt; x & lt; = r) dà 1,164 kgm

Quindi l'effetto netto della cima si sta stabilizzando di (-6.986 + 1.146) = -5.840kgm, di nuovo.


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Immagino che tu applichi il carico in un singolo punto nella peggiore posizione (sul bordo equidistante tra due gambe). Il caricamento reale può essere superiore a questo a seconda della distribuzione e della posizione.

In questo caso hai un semplice problema con la leva, con il carico e parte del tavolo bilanciati dal resto del tavolo (supponendo che le gambe siano relativamente leggere).

La frazione del tavolo sul lato caricato del tavolo sarà a segmento circolare . Pertanto, la frazione è

$$ f = \ frac {\ theta- \ sin {\ theta}} {2 \ pi} $$

dove $ \ theta $ è in radianti ed è dato da $$ \ theta = 2 \ arccos {\ frac {d} {R}} $$ $ d $ è la distanza dal centro al fulcro e $ R $ è il raggio.

Assumendo una densità di massa uniforme della tavola ogni segmento agirà attraverso il suo centro di massa. Quindi ci sono tre componenti da equilibrare. Il tavolo darà la mancia se.

$$ (R-d) L + \ frac {R-d} {2} fM & gt; \ Frac {d + R} {2} (1-f) M $$

riordinando

$$ L & gt; (\ frac {R + d} {R-d} \ frac {1-f} {2} - \ frac {f} {2}) M $$

per il tuo tavolo $ R = 400 $ mm, $ d = 160 $ ​​mm, $ M = 40 $ kg.

In questo caso,

$$ theta = 1,59 rads $$ $$ f = 0,094 $$ $$ L_ {max} = 40.4kg $$

(Probabilmente ho fatto qualche errore di calcolo o di algebra, quindi lo controllerei).

Per questo modello l'altezza del tavolo è irrilevante. I carichi laterali della realtà sul tavolo non sono zero, ad es. qualcuno che spinge di lato. In quale caso l'altezza avrà un effetto significativo.


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Ho individuato il mio errore. La densità di massa (in senso 1D) non è uniforme per un tavolo circolare. Adatterò la mia risposta quando avrò tempo.
nivag

Un altro errore è usare d = 160mm dall'OP, mentre @ Knigge46 lo ha ricalcolato correttamente per essere 146mm.
AndyT

Non hai bisogno di nessuno di quei calcoli matematici - con l'assunto implicito che le gambe e il top sono effettivamente rigidi il peso del top in modo efficace tutti gli atti al centro
achrn

L'errore è l'assunto che il centro di massa del segmento circolare sia a (R-d) / 2 e che il centro di massa del resto del piano del tavolo sia a (d + R) / 2. Nessuno di questi è vero. Questo potrebbe essere ciò che intendi per densità di massa non uniforme, ma in realtà tutte le risposte presuppongono che la densità di massa areale della cima sia uniforme.
achrn

0

Poiché ci sono 3 piedi sotto una superficie radiale, dobbiamo calcolare il momento massimo di area tra i piedi indotto dal peso del tavolo. Ciò richiede il calcolo del punto medio della linea triangolare tra due piedi che descrivono un arco di 292 mm con un angolo tra loro di 120 °. Il raggio calcola a $ 292/2 = 146mm $ Usando la regola del coseno possiamo determinare la lunghezza del punto medio dell'accordo $$ L = \ frac {\ sqrt {2 (146 ^ 2) -2 (146 ^ 2)  \ cos 120}} {2} $$ $$ L = 126.44 $$ Ora calcoliamo la distanza radiale inscritta mentre la distanza perpendicolare a L viene calcolata da Pitagora $$ \ sqrt {146 ^ 2-126.44 ^ 2} = r_2 $$ $$ R_2 = 73 millimetri $$ Confrontando la tabella con il raggio con il raggio di appoggio del supporto minimo efficace tra i piedi da essere $ \ frac {800} {2} -73 = 327mm $ dal bordo del tavolo, rendendo il centroide abbastanza alto.

Secondo me, questo tavolo non sarà molto sicuro da usare considerando che il raggio di supporto è di soli 73 mm contro un design pesante di 400 mm $ \ Frac {3} {4} $ m sopra il suolo dando un carico assiale di 13,3 kg che è 130,8 N di peso proprio.

Per calcolare il punto di svolta, dobbiamo solo considerarlo come una semplice equazione del raggio.

Il risultato è che 8,32 kg al limite più precario sarebbe il limite del ribaltamento. Per ragioni di sicurezza, ritengo che il fattore minimo del 25% lo ridurrebbe a 6,24 kg.

Considerando che il peso della tavola che cade su un bambino piccolo potrebbe causare gravi lesioni e probabilmente rompere il piede di una persona se rovesciato accidentalmente, aggiungerei stabilizzatori laterali ai piedi del tavolo paralleli al raggio del tavolo sotto forma di triangoli rivolti verso l'esterno. La base di essi è lunga 140 mm come triangoli isosceli con lati 2x80 mm

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