Puoi usare l'equazione di Hagen-Poiseuille per un tubo il cui raggio si trova nella regione sub-millimetrica?

Poiché ciò dipenderà dalla caduta di pressione , supponiamo che non lasci l'intervallo da 0 a 100 bar. L' equazione di Hagen-Poiseuille per un fluido incomprimibile è definita come: $\Delta p$

\dot{V} = \frac{π R^{4} Δ p}{8 η L}

$\dot{V} = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8\eta L}$

Mi rendo conto che non sarà applicabile per diametri molto piccoli (nm), quindi questa domanda è nel contesto della microfluidica. I fluidi di interesse in questo caso hanno una viscosità cinematica da 1 cSt a 10000 cSt.

fluid-mechanics microfluidics

— John HK
fonte

Non hai dato un nome alla sostanza (anche se, anche se lo facessi, non potrei offrire una risposta.)

— dal

@dcorking Quindi, vuoi conoscere la viscosità di interesse? Dal momento che è un fluido incromprimibile, questa sarebbe l'unica quantità fisica che cambierebbe. Naturalmente, se si lasciano da parte fluidi non newtoniani. Le viscosità cinematiche di interesse sarebbero comprese tra 1 cSt e 10000 cSt.

— John HK,

Hai a che fare solo con una singola fase fluida, giusto? Se due fluidi venissero a contatto l'uno con l'altro, gli effetti della tensione superficiale impedirebbero l'applicazione di Hagen-Poiseuille.

— Paul,

@dcorking Grazie, ci guardo dentro. Se trasferissi il suo ragionamento in questo caso, l'equazione di Hagen-Poiseuille non sarebbe applicabile quando raggiungi diametri paragonabili alla dimensione delle molecole d'acqua.

— John HK,

@Paul Sì, è presente una sola fase del fluido.

— John HK,

Risposta breve: SÌ , puoi.

Risposta lunga:

A) Limiti della meccanica del continuo:

Il modello continuo di fluidodinamica è valido solo fino a quando il fluido si comporta come un mezzo continuo. Questo è caratterizzato dal numero Knudsen . Il numero di Knudsen è dato da , dove è il percorso libero medio e è la dimensione caratteristica del canale (diametro nel caso del tubo circolare). Gli effetti di non equilibrio iniziano a verificarsi se . Le condizioni al contorno di scorrimento modificate possono essere utilizzate per e il modello condinuo si rompe completamente se . ( Fatto divertente: $Kn = \frac{\lambda}{l_s}$ $\lambda$ $l_s$ $Kn > 10^{-3}$ $10^{-3} < Kn < 10^{-1}$ $Kn > 1$ poiché la distanza tra due veicoli su una strada affollata è molto più piccola della parte diritta della strada stessa (scala della lunghezza nel flusso ), possiamo modellare il flusso del traffico con un PDE ! Tuttavia non funzionerà se c'è solo un'auto su un lungo tratto di strada) $1d$

Tornando all'acqua, poiché le molecole d'acqua non si muovono liberamente e sono vagamente legate, consideriamo la spaziatura reticolare per calcolare . Per l'acqua è di circa . Quindi la teoria del continuum andrà bene per un tubo di diametro, o più grande . Questa è una buona notizia! $\delta$ $Kn$ $\delta$ $3 nm$ $300 nm$ $^*$

$^*$ Riferimento: flussi di liquido nei microcanali

B) Applicabilità dell'equazione di Hagen Poiseuille:

Dato che il tubo si trova in un intervallo inferiore ai millimetri, è molto più grande del diametro minimo richiesto (sub-micrometro) per l'equazione di continuità. Tuttavia, a seconda della forma della sezione trasversale del tubo, i risultati differiranno ( Collegamento a rif. ). I flussi di liquidi sono molto più semplici da analizzare poiché sono caratterizzati dal numero e dalle velocità di Reynold molto più piccoli. Anche la densità rimane essenzialmente costante. Quindi non dovrebbe esserci un problema nel considerare valida la teoria. Ora, poiché il flusso di Hagen Poiseuille deriva dalle equazioni di Navier Stokes, segue il presupposto della continuità.

Se il flusso è attraverso un mezzo poroso, potrebbe essere necessario prendere in considerazione effetti come l'effetto elettrocinetico . Potrebbero esserci altre complicazioni nell'applicazione diretta delle equazioni di HP ai flussi microfluidici, ma non sono in grado di commentare poiché non conosco molto in questo campo.

C) Alcuni esempi

In un rapporto sul "networking microfluidico" , Biral ha usato la teoria del continuum per modellare e simulare (in OpenFOAM) i flussi microfluidici.

Fillips discute di più sul numero di Knudsen nel suo documento - Limiti dell'aerodinamica del continuo.

Questo rapporto menziona chiaramente che l'equazione HP è applicabile anche ai flussi microfluidici

Questo documento sul viscosimetro PDMS fornisce la derivazione dell'equazione HP per i flussi microfluidici.

Finalmente ecco un video di YouTube che discute del formalismo della matrice per risolvere la legge di Hagen-Poiseuille nei circuiti idraulici microfluidici.

Sulla base di questi riferimenti, dovrebbe essere sicuro supporre che l'equazione HP possa essere applicata ai flussi microfluidici. Tuttavia, gli esperti sono invitati a illuminarci al riguardo.

Saluti!

— Subodh
fonte

Caspita, che risposta ben ponderata! Conoscevo il numero di knudsen nel contesto della tecnologia del vuoto, ma non mi rendevo conto che in questo caso è possibile utilizzarlo.

— John HK,