Quanto tempo impiega la polvere a depositarsi nell'aria?

Per rendere questa una domanda gestibile, aggiungiamo alcune semplificazioni.

Le particelle di polvere possono essere ben descritte come sfere uniformi di raggio e densità . $R$ $\rho$
Lo spazio è chiuso e non c'è flusso di massa, cioè l'aria è ancora in senso macroscopico.
L'aria è alla temperatura e pressione standard (STP) ; e . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

In queste condizioni, qual è il tempo di assestamento delle particelle di polvere? A quale dimensione / densità il movimento browniano dell'aria diventa importante?

fluid-mechanics air-quality

— Chris Mueller
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Il tempo di assestamento delle particelle solide in aria dipende principalmente dalle dimensioni della particella. Forze diverse diventano significative a seconda della gamma di dimensioni di cui stai parlando, quindi è difficile dare una risposta sia concisa che accurata.

Farò del mio meglio per sintetizzare i punti importanti piuttosto che fare da pappagallo a un riferimento; ciò detto, per quanto riguarda le applicazioni pratiche nel campo della qualità dell'aria, il testo che raccomando è il controllo dell'inquinamento atmosferico di Cooper & Alley . In particolare, trarrò molti dettagli per questa risposta dalla Sezione 3.3: Comportamento del particolato nei fluidi.

Panoramica sull'insediamento gravitazionale

La polvere non si comporta come le bocce di Galileo ; piccole particelle di dimensioni diverse cadono a velocità diverse. Per le particelle solide, la variazione della velocità di assestamento è dovuta principalmente all'influenza delle forze di resistenza.

Ci si potrebbe aspettare che il moto browniano "manipolasse" particelle molto piccole intorno, impedendole di depositarsi. Le particelle di polvere sufficientemente piccole possono rimanere intrappolate indefinitamente ma, in pratica, ciò ha più a che fare con l'aria che non è mai perfettamente immobile di quanto non faccia con il moto browniano. Nel contesto della qualità dell'aria, ci preoccupiamo del moto browniano principalmente quando consideriamo l'impatto (ad esempio, sulle goccioline d'acqua in uno scrubber umido PM ) o la deposizione (ad esempio, sul fogliame vicino alle strade ). Nessuno di questi meccanismi è rilevante nel caso del puro insediamento gravitazionale.

In effetti, quando una particella solida diventa abbastanza piccola da iniziare a considerare il movimento di molecole d'aria discrete, scopriamo che in realtà si deposita un po ' più rapidamente di quanto la legge di Stokes implichi. Questo è quando applichiamo il fattore di correzione dello slittamento Cunningham determinato sperimentalmente per ridurre il coefficiente di resistenza di Stokes. Il fattore di correzione nell'aria è correlato al diametro delle particelle e al percorso libero medio da: $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{p}} [1.257 + 0.40 \exp (- 0.55 \frac{d_{p}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

Quanto al significato di "abbastanza piccolo", il testo di Cooper & Alley dice:

Per particelle inferiori a 1 micron, il fattore di correzione dello scorrimento è sempre significativo, ma si avvicina rapidamente a 1,0 quando la dimensione delle particelle aumenta oltre 5 micron.

Questa potrebbe essere una giustificazione sufficiente per risparmiare tempo o cicli di elaborazione necessari per calcolare il fattore di correzione quando tutto ciò che ti interessa sono particelle relativamente grandi.

Equazione del moto

Possiamo derivare un'equazione del moto in una dimensione come segue.

Applica la seconda legge di Newton alla particella in termini di velocità relativa nel fluido. * $m_{p} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
La legge di Stokes fornisce la forza di resistenza in termini di viscosità del fluido e velocità e diametro della particella; la forza di galleggiamento è uguale al peso del fluido spostato. $m_{p} v_{r}^{'} = m_{p} g - m_{a i r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
Dividi per la massa della particella. $v_{r}^{'} = g - \frac{m_{a i r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
Esprimere la massa come prodotto del volume e della densità, in cui il volume della particella e il volume dell'aria spostata sono gli stessi. $v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
Usando , semplifica il termine della forza di trascinamento e spostalo sul lato sinistro. $V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{p} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

Questo è un ODE lineare con un coefficiente noto (a STP) che rappresenta il seguente tempo caratteristico per depositare particelle:

τ = \frac{ρ_{p} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

Il tempo caratteristico è un parametro utile per confrontare il comportamento di diversi sistemi di particelle disperse nei fluidi, in modo simile al modo in cui il numero di Reynolds può essere utilizzato per identificare quando sistemi diversi avranno regimi di flusso simili. L'applicazione del fattore di correzione dello scorrimento di Cunningham fornisce il tempo corretto dallo scorrimento e l'equazione del movimento che userò nella sezione successiva: $\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* Il sistema di coordinate per questo esempio è definito in modo tale che la velocità di caduta sia positiva.}

Velocità terminale

Per una particella solida che cade nell'aria, è vicino allo zero. In base a tale presupposto, l'impostazione di nell'equazione del moto fornisce al terminale la velocità di assestamento della particella: $\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

Usando quella velocità terminale, la soluzione dell'equazione del moto può essere espressa come:

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

Nel tempo , la particella ha già raggiunto il 98% della sua velocità terminale. Se calcoli il tempo caratteristico delle particelle di polvere, vedrai che ciò richiede solo frazioni di secondo; le particelle di polvere trascorrono gran parte del tempo di assestamento cadendo a velocità terminale. La velocità stessa varia in modo significativo con il diametro delle particelle, ma può richiedere da qualche ora a qualche giorno prima che i particolati fini si stabilizzino solo di pochi metri . $t = 4 \tau'$

Polvere più grande

Questo va bene e fa bene alla polvere più piccola, ma per quanto riguarda le cose più grandi che ti entrano negli occhi e ti fanno tossire? Bene, cattive notizie da Cooper & Alley:

Per una particella più grande di 10-20 micron che si deposita alla sua velocità terminale, il numero di Reynolds è troppo alto perché l'analisi del regime di Stokes sia valida. Per queste particelle più grandi, sono necessari mezzi empirici per ottenere la velocità di assestamento ...

"Mezzi empirici" è un bel modo di dire capire da soli oppure abituarsi a leggere grafici che tracciano curve adattate con esponenti decimali brutti ai risultati della precedente sperimentazione.

— Aria
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Per una singola particella, puoi usare la legge di Stokes : dove è la viscosità dinamica dell'aria, che è facile da calcolare . L'uso della legge di Stokes presuppone che tu conosca l'altezza iniziale di una particella di polvere e potrebbe non essere conveniente per grandi quantità perché ogni particella può iniziare in una posizione completamente diversa - in altre parole, non è un modello di un grande sistema di particelle.

v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{particle} - ρ_{air})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Ho trovato alcuni dati più accurati per particelle di raggi diversi, dati in emivite; leggermente più dati è qui .

Un grafico di tempo di assestamento del carbone, ferro e cemento è data qui , illustrante inoltre il non-lineare, relazione inversa-esponenziale tra raggi polvere e tempo di assestamento.

La teoria dell'insediamento è applicata qui alle nebulose solari. Non sono sicuro di quante delle formule possano essere applicate qui, ma alcune potrebbero essere utili.

t = \frac{ρ_{dust}}{ρ_{air}} \frac{R}{v_{thermal}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$ dove Imposta le condizioni su STP e potresti avere una risposta migliore, sebbene i regni dell'applicazione siano molto diversi!

v_{thermal} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{particle}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
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Inizi con "per una singola particella ...". L'idea è valida anche per una fitta nebbia di particelle?

— Trilarion

@Trilarion Lo è, ma dovresti fare calcoli diversi per ognuno.

— HDE 226868,

@Air Whoops, risolto il problema di matematica. Quello che intendevo per altezza era che semplicemente conoscere la velocità del terminale non ti consentirà di calcolare il tempo di assestamento; devi conoscere le condizioni iniziali.

— HDE 226868,

Vero. Quelle diapositive nebulose sono davvero interessanti. Presentano un'altra limitazione dell'approccio della "sfera uniforme", ovvero che le particelle submicroniche tendono a combinarsi tra loro per formare particelle submicroniche più grandi e particelle fini. Anche in parte è reattivo o si forma da precursori nell'aria. Molte complessità e un'area di molte ricerche in corso.

— Air

@Air Dato quanto amo l'astrofisica e l'area specifica - i dischi di detriti - in fase di studio, è stata una sorpresa imparare qualcosa di nuovo quando si cerca qualcosa di diverso, la qualità dell'aria.

— HDE 226868,