Sviluppo di un modello di equazioni differenziali stocastiche per le fibre di calcestruzzo

Sto lavorando alla modellazione di fibre di calcestruzzo (fibre metalliche) come modello matematico. Il mio lavoro è per la mia tesi. Sono un dottorando in analisi numerica, ma sto lavorando a un vero progetto di tunnel.

Ho avuto problemi con la distribuzione delle fibre nel calcestruzzo. Sto cercando di trovare un modo per sviluppare un'equazione differenziale stocastica per le fibre.

Ho le seguenti domande:

Esiste un modello matematico per la fibra di cemento? (non modello statistico)
Sono disponibili informazioni tecniche sul comportamento delle fibre di calcestruzzo?

— Khosrotash
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Ti riferisci a fibre di polipropilene, fibre di vetro, fibre di acciaio? Il materiale è in calcestruzzo fuso a umido o un calcestruzzo spruzzato? È un calcestruzzo o un mortaio? Qual è lo scopo finale del lavoro di tesi: stabilire le proprietà del prodotto finale? O modellare il comportamento fisico?

— AsymLabs

Sto lavorando su fibre di acciaio. Il mio obiettivo è quello di trovare un modello matematico per la distribuzione delle fibre nel calcestruzzo. Lo scopo finale potrebbe essere quello di ottimizzare il calcestruzzo fibrorinforzato per il segmento del tunnel della metropolitana. Grazie per l'attenzione.

— Khosrotash,

Un problema chiave nella tua modellazione è l'aggregato stesso, ecco perché ho chiesto se le miscele sarebbero state malta (a base di sabbia) o cemento (a base di pietra e sabbia). Nel secondo penso che scoprirai che la pietra è il fattore vincolante per la distribuzione delle fibre, mentre non sarebbe sul primo.

— AsymLabs,

Il tuo endpoint è l'equazione o stai cercando di discretizzare e modellare l'equazione a livello computazionale?

— AsymLabs,

Il termine stocastico è piuttosto del tutto comprensivo, stai suggerendo qualcosa come il calcolo Ito o stai pensando in termini di effetti di varianza (cioè variabili casuali, vettori casuali)? Come si inquadra il problema, forse in base al cambiamento della concentrazione di fibre su un dato elemento volumetrico o qualcos'altro?

— AsymLabs,

Correlati: come posso calcolare una stima per le proprietà di un materiale composito

Il riferimento a Mil Handbook 17F , p. 213 è riassunto qui:

Il calcolo di moduli elastici efficaci è un problema molto difficile nella teoria dell'elasticità e solo pochi semplici modelli consentono un'analisi esatta. Un tipo di modello è costituito da matrici periodiche di identiche fibre circolari, ad esempio matrici periodiche quadrate o matrici periodiche esagonali ... Questi modelli sono analizzati mediante differenze numeriche finite o procedure ad elementi finiti. Si noti che l'array quadrato non è un modello adatto per la maggior parte dei compositi Uni-Directional poiché non è trasversalmente isotropo.

Il modello di assemblaggio cilindro composito (CCA) consente l'esatta determinazione analitica di moduli elastici efficaci ... Considerare una raccolta di cilindri compositi, ciascuno con un nucleo di fibra circolare e un guscio di matrice concentrica. Le dimensioni dei cilindri possono variare ma il rapporto tra il raggio del nucleo e il raggio del guscio è mantenuto costante. Poi...

(Dove è la frazione volumetrica delle fibre rispetto alla quantità totale di materiale. è una proprietà della matrice, è una proprietà della fibra ed sono il modulo elastico, taglio modulo e proprietà del modulo di massa Il modulo di massa, k, può essere calcolato per materiali isotropi come , dove è il rapporto di Poisson. G senza un pedice è un errore di battitura e deve essere sostituito con ) $V_f$ $X_{m}$ $X_{f}$ $E, G, k$ $\frac{E}{2(1-\nu-2\nu^2)}$ $\nu$ $G_m$

Un'alternativa preferita è quella di utilizzare un metodo di approssimazione che è stato chiamato il regime autosufficiente generalizzato (GSCS). Secondo questo metodo, lo stress e la tensione in qualsiasi fibra vengono approssimati incorporando un cilindro composito nell'efficace materiale composito in fibra. Le frazioni volumetriche di fibra e matrice nel cilindro composito sono quelle dell'intero composito. Tale analisi ... risulta in un'equazione quadratica per il modulo di taglio ...

L'algoritmo netto consiste nel calcolare prima il modulo di massa effettiva , il rapporto di 12 poisson e il modulo di Young , quindi utilizzare la formula quadratica elencata per calcolare il secondo modulo di taglio, . Utilizzando , , e possono essere calcolati. Questi sono nel sistema di coordinate locale della fibra. Per tradurre in coordinate globali: $k^*$ $\nu_{12}^*$ $E_{1}^*$ $G_2^*$ $G_2^*$ $E_2^*$ $\nu_{23}^*$ $G_1$

Possiamo quindi ruotare la fibra per trovare le proprietà del composito unidirezionale per trovare le proprietà in una direzione arbitraria:

dove Qbar è la matrice ruotata e Q è la matrice inversa originale. Per un modello stocastico, l'angolo della fibra e la frazione di volume possono essere gli input e gli output sarebbero le proprietà risultanti. Si noti che per una distribuzione casuale uniforme, è possibile integrare la matrice Qbar poiché theta varia da 0 a , quindi dividere per per ottenere una matrice simmetrica. I risultati di questo metodo corrispondono bene ai dati sui materiali in fibra casuale nell'industria della vetroresina. $2\pi$ $2\pi$

Come hai chiesto di un'equazione differenziale, da questo punto dovremmo rivedere la teoria appropriata. Ad esempio, l'equazione della piastra classica, , funziona in parte. Dobbiamo includere un'altra variabile stoicastica, l'altezza della fibra all'interno di un blocco di cemento. Più la fibra è vicina alla parte superiore, più rigido sarà il blocco rispetto al carico di flessione. Il blocco può essere diviso in segmenti arbitrari di spessore uniforme e viene aggiunto il volume delle fibre in ciascun segmento, generando Qbar diverse. Una diversa distribuzione comporterebbe diverse proprietà del blocco:

\nabla^{2} \nabla^{2} = \frac{q}{D}

$\nabla^2\nabla^2 = \frac{q}{D}$

Questa matrice, chiamata matrice ABD, avrebbe quindi ridefinito l'equazione della piastra come segue:

D_{11} \frac{\partial^{4} w}{\partial x^{4}} + 2 (D_{12} + 2 D_{66}) \frac{\partial^{4} w}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + D_{22} \frac{\partial^{4} w}{\partial y^{4}} = q (x, y)

$D_{11}\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2(D_{12}+2 D_{66})\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} + D_{22}\frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = q(x,y)$

per i casi più semplici (matrice B irrilevante, nessun carico trasversale, ecc ...). I casi vanno più strani da lì, ma possono essere derivati dalle derivazioni originali, ma fermarsi quando il modello dice di assumere che lo stress sia proporzionale alla macchia.

— marchio
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