Come gestire una forza puntuale che agisce proprio sulla cerniera di una trave?

Ho tentato di risolvere una domanda in cui vi è una forza puntuale che agisce sulla cerniera di un raggio. Ecco il problema:

Non sono sicuro di come gestire la forza del punto 2 kN in ( ed sono le cerniere). Se divido il raggio in tre parti, , e , non so dove dovrebbe andare quella forza di 2 kN. Se lo includo in entrambe le equazioni di equilibrio di e , la somma di sarà sbilanciata. Credo che questo problema sia staticamente determinato, ma a questo punto sono bloccato. Non voglio ancora allegare i miei lavori qui perché vorrei davvero affrontarli da solo con un po 'di chiarimenti e aiuto.C E ¯ A C ¯ C E ¯ E G ¯ A C ¯ C E F $C$$C$$E$$\overline{AC}$$\overline{CE}$$\overline{EG}$$\overline{AC}$$\overline{CE}$$F_y$

Mentre questo raggio presenta cinque vincoli ( $X_A$ , $Y_A$ , $M_A$ , $Y_F$ , $Y_G$ ), è infatti staticamente determinato. Una struttura staticamente indeterminata è una struttura in cui vi sono più incognite (vincoli, in questo caso) di quante siano le equazioni di equilibrio statico. Di solito una ha tre equazioni: $\sum F_X = 0$ , $\sum F_Y = 0$ , $\sum M_? = 0$ (dove $?$è un punto arbitrario). Le cerniere, tuttavia, ci danno un'equazione aggiuntiva ciascuna: $\sum M_{h\pm} = 0$ , dove $h\hspace{-2pt}\pm$ è un lato della cerniera (sinistra o destra), come in questa domanda. Ciò è diverso dall'equazione del momento flettente nullo globale che considera tutte le forze su entrambi i lati della cerniera. Aggiungendo le due equazioni aggiuntive date dalle cerniere in$C$ ed$E$ alle tre equazioni globali di equilibrio, abbiamo quindi tante equazioni quanti ne abbiamo contrapposte (5) e possiamo quindi risolvere questo problema con i mezzi tradizionali.

Detto questo, esiste un modo molto più semplice di farlo, che è del tutto pratico, senza ausili computazionali .

Per questo approccio pratico, occorre osservare la cerniera doppia in campata $\overline{CE}$ . Ciò significa che il momento flettente in $C$ ed $E$ deve essere nullo, proprio come con una trave semplicemente supportata (una spiegazione più approfondita del perché questo confronto è valido può essere vista alla fine).

Quindi sostituiamo quella trave con i seguenti pezzi (notare che i carichi in $C$ ed $E$ sono lasciati vuoti per ora):

Risolvere il raggio che rappresenta $\overline{CE}$ è banale. Per ora tutto ciò di cui abbiamo bisogno sono le reazioni, che sono pari a $3\text{kN}$ per ciascun supporto.

Ora prendi quelle reazioni e gettale sugli altri pezzi, ricordando che in $C$ c'è anche la forza concentrata di $2\text{kN}$ , che deve essere aggiunta. Pertanto abbiamo:

Anche gli altri pezzi sono isostatici e possono essere banalmente risolti (supponendo che si sappiano ottenere forze interne di strutture isostatiche). Le forze interne risultanti sono (ho cambiato il supporto in $G$ solo per rendere quel pezzo stabile per forze orizzontali, che in questo caso non cambia nulla):

Componendo questi diagrammi, sono identici a quelli ottenuti dalla trave originale:

$\overline{CE}$, dove i raggi a destra e a sinistra sono raggi di Gerber) e che possono quindi essere "sollevati" dal resto della struttura, risolti e quindi distribuire le loro reazioni al resto della struttura. Uno non deve preoccuparsi dell'influenza delle forze esterne o dei raggi vicini che trasmettono forze di taglio a causa del fatto che il momento flettente deve essere nullo ad ogni estremità del raggio di Gerber. Ciò significa che l'integrale della cesoia lungo il raggio di Gerber deve essere nullo, il che può verificarsi solo se si considerano solo i carichi all'interno del raggio e le reazioni alle estremità.

Il programma che ho usato per questi diagrammi era Ftool , uno strumento gratuito per l'analisi di fotogrammi 2D.

Presumo che tu sappia come trovare le reazioni, ma non sei sicuro dei due cardini di C ed E, poiché questa sembra la tua preoccupazione principale. Se non sei sicuro di come calcolare le reazioni, posso aggiungerlo in seguito. Ho usato SkyCiv Beam per trovare le reazioni:

Come puoi vedere queste reazioni si bilanciano bene:

$$\sum F_y = 11 + 10 + 5 - (6+2+6+2\times6) = 26 - 26 = 0\text{ kN} \\ \sum M_A = -32 +6(2)+2(4)+6(5)+12(11)- 10(8) -5(14)= 0\text{ kN.m}$$

Ora non importa se si sceglie di includere il carico in punti 2 kN sulla cerniera C sull'elemento CA o CE. Basta includerlo nel diagramma del corpo libero (FBD) per un membro o l'altro (NON entrambi!).

Facciamo in modo che il carico in punti 2 kN su C agisca sull'estremità destra dell'elemento CA, non sull'estremità sinistra dell'elemento CE. Ricordando che un momento NON può essere supportato dalla cerniera C:

$$\sum F_y = 0\\ 11 - 6 - 2 + H_C = 0\\ \therefore H_C = 3\text{ kN}$$

Ora considera il membro CE (di nuovo nessun momento in C o E). La forza Hc deve essere nella direzione opposta a quella trovata nell'FBD per il membro AC:

$$\sum F_y = 0\\ H_C + H_E -6 = 0\\ 3 + H_E - 6 = 0\\ \therefore H_E = 3\text{ kN}$$

Infine, considera il membro EG per confermare che tutto si bilancia bene (di nuovo la forza in E deve essere opposta a quella nell'FBD per il membro CE):

$$\sum F_y = -H_E + 10 + 5 - 12 = -3 + 10 + 5 - 12 = 0 \text{ }\checkmark$$

Diamo un'occhiata al diagramma della forza di taglio (SFD) qui sotto e capiamo perché non importa davvero su quale membro agisce il carico di punti 2 kN. In precedenza abbiamo risolto che al punto C la forza di taglio era Hc = 3 kN. Come puoi vedere nell'SFD, ci sono DUE valori nel punto C (x = 4m): 5 kN e 3 kN. Ovviamente la differenza tra questi valori è il carico in punti 2 kN. Se avessimo aggiunto il carico in punti nel nostro diagramma per l'elemento CE anziché l'elemento AC, avremmo risolto la forza di taglio nel punto C per essere Hc = 5 kN. Quindi puoi includerlo in entrambi i membri e sarà corretto - semplicemente non includerlo in entrambi i membri.

SkyCiv Beam è abbastanza utile per analisi come questa ed è un buon modo per controllare la logica, le risposte e l' allenamento . Risolverà anche il diagramma del momento flettente (BMD) se ne hai bisogno più la deflessione, lo stress tra gli altri.