Che tipo di matematica usano davvero gli ingegneri? [chiuso]

Vengo dalla sezione matematica StackExchange, molti dei miei studenti sono studenti di ingegneria all'università. Mi chiedevo che tipo di calcolo usi i veri ingegneri? Ho conosciuto due ingegneri. Uno dal design dell'aeroplano e un altro dalla metrologia. Il primo utilizzava pochissimo calcolo, alcuni ODE con coefficienti costanti per linearizzazione. Quest'ultimo usava solo la matematica di base, nessun calcolo, con un po 'di eccellenza. Voglio essere onesto con qualsiasi studente di ingegneria in modo che sappiano cosa li aspetta.

Inoltre, una domanda di follow-up. Hai trovato utile avere circa quattro semestri di calcolo? Forse non ne usi nulla, ma migliora il tuo ragionamento matematico, che ha un'esternalità positiva nelle tue capacità ingegneristiche?

Nella mia laurea in ingegneria civile abbiamo usato ODE per il rapporto tra forza, momento e deflessione. Non ricordo di aver usato PDE me stesso, ma mio cognato (facendo civiltà in un'altra università) li ha usati per l'idraulica.

Nella vita reale (come progettista di ponti) non ricordo di aver effettivamente usato il calcolo. L'università si è concentrata principalmente sulla teoria e sui modelli matematici utilizzati, mentre nella progettazione ingegneristica abbiamo software per computer che fa tutto il calcolo per noi.

Penso che ci sia un grande vantaggio in un background teorico e matematico all'università: come ingegnere professionista devi avere una conoscenza di base per sapere se il software ti sta dando una risposta ragionevole.

(A parte questo, come hai detto Excel, l'ho usato moltissimo nel design reale.)

Inizialmente l'ho scritto come un commento allegato alla risposta di AndyT ma in risposta al commento di dcorking ho deciso di espandermi qui.

Mi sono laureato per quasi 30 anni e la mia esperienza è simile a quella di AndyT. Dopo la laurea sono andato direttamente nel settore. Da quando mi sono laureato, io e tutti quelli con cui ho lavorato o con cui non sono stato associato non abbiamo mai usato e non abbiamo mai avuto bisogno di usare il calcolo nel nostro lavoro quotidiano come ingegneri. I tipi di ingegneri con cui ho lavorato includono: civili, meccanici, di ventilazione, minerari, elettrici e ambientali.

Durante la mia carriera ho usato un po 'di trigonometria, algebra e statistiche, oltre a matematica finanziaria (VAN, IRR, ecc.) Per valutazioni di progetti, studi di fattibilità e talvolta quando dovevo scrivere o rivedere giustificazioni per spese in conto capitale.

Quando sono emerso nel mondo reale, i computer desktop di lavoro stavano iniziando a essere utilizzati dagli ingegneri. La mia carriera iniziale è stata una miscela di disegni su carta e computer. Alla fine i computer hanno dominato e alla fine ho usato software di progettazione informatica e fogli di calcolo per il mio lavoro di ingegneria e progettazione.

Tra i due terzi e i tre quarti di tutta la matematica che ho imparato all'università non ho mai usato dopo aver iniziato a lavorare. Da allora mi sono reso conto che gran parte della matematica che dovevo imparare era un esercizio per insegnarmi come pensare e risolvere i problemi. L'unità di matematica che ho trovato particolarmente inutile per la mia carriera, ma che ho dovuto studiare, era autovettori. So che alcuni ingegneri ritengono indispensabili gli autovettori. Era un'unità che ero felice di dimenticare dopo aver sostenuto l'esame!

I corsi di ingegneria devono essere accreditati da società di ingegneria professionali, quindi gli ingegneri sono tenuti ad apprendere molte matematiche, nel caso in cui sia necessario. Quando gli studenti iniziano i loro corsi, non sanno sempre dove finiranno.

Gli ingegneri di ricerca e coloro che sono coinvolti con tecnologie all'avanguardia all'avanguardia utilizzano più matematica e calcoli che sono stati loro insegnati.

Ricordo di aver sentito una conversazione durante le mie lezioni con un altro studente e disse che l'unica volta che usava il calcolo era negli anni '50 quando era coinvolto nella progettazione di alcuni tipi di motori a combustione interna.

Il vantaggio dell'ingegnere nell'industria è che finiscono presto per essere manager - occupandosi di persone, denaro e idee. Una conoscenza di base del calcolo è utile, ma oggi i computer fanno tutti i calcoli complessi per noi. Inseriamo il numero e interpretiamo i risultati. Dobbiamo conoscere i concetti di come funziona il software per assicurarci che il software non ci dia rifiuti. È uno dei motivi per cui gli studenti di ingegneria devono studiare matematica.

Ricordo di aver frequentato un seminario di settore agli studenti quando ero uno studente e un ingegnere esperto disse a tutti che mentre all'università avevano bisogno di usare calcolatrici scientifiche, ma man mano che avanzavano nella loro carriera finivano per usare calcolatrici che avevano solo addizione, sottrazione , chiavi di moltiplicazione e divisione.

Un piccolo background (rivelazione onesta). Ho iniziato a ottenere il mio BS / MS in Ingegneria meccanica. da una scuola abbastanza pratica / applicata prima di decidere di continuare con un dottorato in una scuola più teorica. Di conseguenza, non pretendo di essere un vero ingegnere (la mia esperienza generale è che gli accademici che lavorano in ingegneria sono di solito ingegneri mediocri), ma ho alcuni pensieri che potrebbero essere utili.

Nella mia ricerca, mi trovo a occuparmi di ODE, PDE, algebra lineare (sia applicata che astratta) e quel genere di cose. A volte ho dovuto riapprendere concetti matematici che avevo dimenticato o mai appreso in primo luogo. Qualunque parte dei tuoi studenti vada nel mondo accademico, sarà più probabile che utilizzino il calcolo regolarmente.

In attività più applicate, come progetti di consulenza o costruzione di auto da corsa per il completamento di uno studente. Trovo molto meno richiesta per quelle abilità, anche se a volte sono utili.

In molti casi, il calcolo è più prezioso per i concetti che per il calcolo effettivo. Vorrei sapere che una quantità è parte integrante di un'altra per capire un problema, ma ciò non significa che in realtà mi siederò e integrerò un'equazione con una matita e un foglio di carta. In particolare, penso che comprendere le idee di base delle equazioni differenziali possa essere estremamente prezioso in molte discipline (sistemi dinamici, trasferimento di calore, elettronica ...).

Le esperienze che descrivi non sono irragionevoli per diversi motivi (elenco non completo):

• Molti problemi pratici possono essere risolti analiticamente con matematica superiore. Tuttavia, la soluzione analitica, una volta conosciuta, riduce il calcolo effettivo all'aritmetica semplice. In alcuni casi non è solo più facile utilizzare la soluzione fornita, ma è effettivamente necessario. Nel caso di vari codici e standard, un ingegnere si espone alla responsabilità se si discosta da una procedura di calcolo prescritta.

• Le soluzioni numeriche ai problemi sono sempre più facili da trovare e sono più ampiamente applicabili delle soluzioni analitiche. Spesso è più facile lanciare un metodo numerico su una serie integrale, ODE, PDE ... piuttosto che cercare di ricordare / derivare la soluzione. Geometria complessa, comportamento non lineare ecc. Spesso significano che i metodi convenzionali sono impraticabili o impossibili. E, con un sacco di software moderno, la matematica è totalmente invisibile per l'utente. Ho visto studenti del 1 ° anno con poca esperienza apprendere rapidamente gli strumenti per simulare le sollecitazioni in scenari di carico complessi e calcolare la conduzione del calore transitorio con condizioni al contorno non lineari (praticamente non è richiesta la matematica).

• Ci sono molti dati empirici che vanno all'ingegneria. In alcuni casi gli esperimenti e l'esperienza possono essere altrettanto buoni o migliori della matematica. Non potrei nemmeno iniziare a calcolare (dai primi principi) il coefficiente di attrito tra due materiali, ma posso cercarlo in un libro o misurarlo da solo.

Questo è dal punto di vista di un ingegnere civile.

Gli ingegneri in genere non usano la matematica di livello superiore perché le specifiche del codice sono scritte appositamente per evitare la necessità. Non vuoi che un edificio o un ponte falliscano perché un ingegnere non ha preso correttamente un integrale. Ove possibile, la matematica dura è stata ridotta a un'equazione semplificata, un grafico o un grafico. Questo viene fatto per limitare le possibili fonti di errori.

La matematica complicata viene eseguita e controllata prima di essere inserita nei codici. In questo modo l'ingegnere che utilizza il codice in un secondo momento non deve preoccuparsi che sia corretto. Di solito, basta fare riferimento a un codice per "provare" che una risposta è corretta.

L'ingegneria per il pubblico è così controllata da codici e specifiche che in alcune aree c'è davvero poca matematica da fare. La risposta si trova in una tabella. La tabella è stata probabilmente progettata con molti input matematici e ricerche universitarie, ma è stata sviluppata una tabella per eliminare la necessità di ripetere i calcoli standard su ogni progetto. Questo è anche il caso del design sismico (terremoto). A meno che un progetto non sia così speciale da dover creare un modello computerizzato completo, tutte le complesse interazioni tra il suolo, la struttura e i guasti vicini sono ridotte a un semplice carico orizzontale che viene applicato attraverso il centro di massa.

I codici di costruzione e le incertezze nei carichi richiedono che i fattori di sicurezza siano in qualche modo ampi rispetto ad altre professioni. Ciò significa che un metodo semplificato per risolvere un problema non influisce molto sul risultato finale rispetto a una soluzione matematica esatta .

Gran parte dei calcoli quotidiani che un ingegnere completa utilizza gli stessi insiemi di formule con input diversi. Ecco perché è possibile creare enormi fogli di calcolo Excel per svolgere gran parte del lavoro.

Ciò non significa che la matematica di livello superiore e le teorie che ne sono alla base non siano utili. Tutti questi argomenti aiutano a formare la mente di un ingegnere per visualizzare ciò che sta realmente accadendo. L'argomento sulla simulazione numerica parla di questo.

A seconda di come lo guardi, nessuno e tutto.

Il ciclo di fare qualcosa nel modo più duro, imparare una scorciatoia e poi passare a materiale avanzato si ripete fino all'università.

Ad esempio, una volta che ho iniziato a prendere Algebra, ho smesso di fare tabelle di moltiplicazione. La matematica a livello universitario è allo stesso modo. Dopo il calcolo, la maggior parte degli ingegneri prende equazioni differenziali. A quel punto ho davvero smesso di fare calcoli e ho iniziato a fare affidamento su strumenti per farlo per me.

Nel lavoro di controllo utilizziamo molte trasformazioni di Laplace per definire un sistema. Mentre tecnicamente conosco la teoria alla base della trasformazione di Laplace, non ne ho fatto uno a mano da quasi un decennio.

Quindi, mentre non ho 'usato' il calcolo dal mio terzo-quarto anno di università, tutto ciò che ho imparato durante questi corsi ha richiesto fondamenti di calcolo.

Modifica: una sorta di analogia. È come chiedere a qualcuno al 14 ° piano di un edificio quante volte usano il 3 ° piano. Potrebbe non essere mai, ma senza il 3 ° piano non ci sarebbe nemmeno un 14 ° piano.

Sono d'accordo, come discusso in alcune delle altre risposte, che la maggior parte delle volte gli ingegneri non usano direttamente il calcolo (o altri calcoli avanzati) molto spesso per svolgere il loro lavoro quotidiano. E allo stesso tempo, capirlo è vitale per un buon ingegnere.

Aggiungerei, tuttavia, che comprendere la matematica avanzata abbastanza bene da usarla in modo efficace può essere estremamente utile in questa era attuale in cui gli strumenti matematici avanzati sono prontamente disponibili. Ad esempio, un programma come Mathcad consente all'utente di eseguire l'integrazione diretta di un dominio e un ingegnere che capisce come utilizzarlo correttamente può creare strumenti estremamente efficaci, precisi e veloci per risolvere i problemi di routine.

$S_p$

$\Delta e$$z$

$e_0$

$\sigma^{\prime}$$S_p$

Tuttavia, un modo molto migliore e più semplice per farlo è semplicemente l' integrazione diretta usando uno strumento come Mathcad! Invece di dividere una colonna del suolo di 15 piedi in incrementi di 1 piede ed eseguire la stessa serie di calcoli in ciascuno dei 15 strati, tutto ciò che devo fare (una sola volta) è questo:

1. $z$ $$u(z)=0$$
2. $z$ $$\sigma_0(z)=\gamma_{\text{soil}}z$$
3. $z$ $$\sigma^{\prime}_0(z)=\sigma_0(z)-u(z)$$
4. $z$ $$\Delta\sigma^{\prime}(z)=1000\text{ psf}$$
5. $z$ $$\Delta e(z)=C_c\log{\frac{\sigma^{\prime}_0(z)+\Delta \sigma^{\prime}(z)}{\sigma^{\prime}_0(z)}}$$

$z=H_{\text{layer}}$

Questo approccio è più rapido, più accurato e più semplice rispetto al metodo insegnato nella meccanica del suolo o nel manuale di base. Tuttavia, richiede la capacità di comprendere e applicare il calcolo di base al fine di implementarlo correttamente.

Esistono molti altri esempi (ad es. Analisi strutturale di un raggio in flessione, flusso di acque sotterranee, analisi del flusso volumetrico di un idrografo spartiacque, ecc. Ecc.) In cui l'integrazione diretta sarebbe un approccio superiore a quello comunemente usato se fosse disponibile lo strumento giusto .

Un ingegnere elettronico qui, che ha trovato la matematica la parte più difficile della sua laurea.

Devo quasi sempre usare e manipolare numeri complessi quando faccio ingegneria RF, modellazione di circuiti e progettazione. Sono stati utili anche durante la modellizzazione della propagazione ultrasonica. Ho spesso desiderato che Excel gestisse numeri complessi come tipo incorporato.

La comprensione degli ODE è fondamentale nella progettazione di sistemi di controllo e feedback.

È stata necessaria la comprensione dei concetti di serie di Fourier, trasformazioni di Laplace e Z-trasformazioni e convoluzione.

La cosa importante per me è stata sapere quali sono i problemi di matematica e poter chiedere aiuto a un matematico quando necessario. I matematici che ho consultato sono sempre stati felici di aiutare con problemi pratici.

Come scienziato computazionale, lavoro a stretto contatto con ingegneri che sviluppano gli strumenti software che usano per risolvere diversi tipi di problemi di ingegneria. Il mio lavoro si basa fortemente su equazioni differenziali parziali e analisi numerica, per le quali integrali, derivati, serie di Taylor, limiti, teorema di green, ottimizzazione, tassi di variazione, ecc ... sono tutti gli strumenti di base che utilizzo ogni giorno della mia vita.

A mio avviso, gli ingegneri professionisti sono gli utenti degli strumenti, mentre mi vedo come un produttore di utensili. Un ingegnere può certamente utilizzare uno strumento senza conoscere molto le complessità di come è stato realizzato ... Ma per scegliere lo strumento giusto per il lavoro da svolgere, devi capire la più ampia varietà di strumenti tra cui scegliere e i loro vantaggi / svantaggi . L'unico modo per comprendere i vantaggi di uno strumento numerico rispetto a un altro, è necessario comprendere i mattoni di tale strumento. Per questo, il calcolo è assolutamente necessario.

Darò un esempio di calcolo che ho usato oggi come ingegnere del software.

Stimavamo il tempo di calcolo dell'esecuzione di un'operazione su ciascuno dei numerosi gruppi di elementi. Il tempo impiegato per un singolo gruppo è proporzionale alla dimensione del gruppo al quadrato.

Non siamo sicuri della distribuzione delle dimensioni dei gruppi, ma a seconda dei diversi algoritmi che potremmo usare, potremmo essere in grado di modellarli come distribuiti normalmente, distribuiti per legge di potere, distribuiti esponenzialmente, ecc., Così come influenzare i parametri di tali rispettive distribuzioni.

$X^2$$X$

In generale, cose come questa saltano fuori di tanto in tanto. Non so che l'ho mai usato esplicitamente in termini di scrittura di software che esegue calcoli relativi al calcolo, né l'ho usato come autorevole strumento decisionale. Di solito viene lasciato "provare alcune cose e vedere cosa funziona meglio" ma è sicuramente utile per il brainstorming o la stima di base della lavagna. In questo caso, ci permette di teorizzare su quale tipo di distribuzione speriamo possa funzionare meglio e concentrare i nostri sforzi nel provare quel percorso. Posso certamente dire che i fondamenti di base del calcolo sono utili per comprendere le dinamiche di alcuni sistemi software. Quattro semestri è probabilmente eccessivo.

Ho una laurea in ingegneria informatica. Sono ancora agli inizi della mia carriera (attualmente principalmente software, ma sto cercando di essere più coinvolto nell'aspetto hardware delle cose), ma ecco la mia esperienza:

Mi chiedevo che tipo di calcolo usi i veri ingegneri?

L'argomento più usato per me sia a scuola che altrove è stata la trasformata di Fourier. È venuto più volte nelle mie lezioni di ingegneria elettrica, e ora lavoro nelle telecomunicazioni, dove viene fuori in varie forme relativamente spesso.

Detto questo, sono i concetti e lo sfondo e la comprensione della realtà fisica attraverso le equazioni che mi hanno aiutato di più piuttosto che i numeri e i calcoli reali (che ho visto molto raramente fuori dalla scuola). Saper seguire ciecamente le regole e fare calcoli può aiutare a fare bene a scuola (a seconda del professore), ma nella mia esperienza è più importante avere una comprensione concettuale e un'idea generale del comportamento dei circuiti piuttosto che essere in grado di calcolare un risposta numerica esatta. Al lavoro otterremmo la risposta nel modo più rapido: collegare i numeri in un simulatore. Ma se hai una comprensione concettuale, saprai cosa aspettarti e noterai quando qualcosa non va.

Dalla mia esperienza direi che la cosa più importante è capire bene come le equazioni descrivono il sistema fisico ed essere in grado di tradurre avanti e indietro. Cioè, lascia che le equazioni migliorino la tua comprensione del sistema fisico.

Forse non ne usi nulla, ma migliora il tuo ragionamento matematico, che ha un'esternalità positiva nelle tue capacità ingegneristiche?

Sì! La capacità di descrivere un sistema fisico in termini matematici, quindi di capirne e prevederne il comportamento è un'abilità che ho acquisito a scuola e credo che sia molto importante per qualsiasi ingegnere.

Questo è scritto dal punto di vista di qualcuno che ottiene un dottorato in ingegneria meccanica. Il mio background in matematica è in qualche modo paragonabile (ma decisamente inferiore) a quello degli studenti di dottorato in un programma di matematica applicata.

Come altri hanno indicato, la risposta a questa domanda dipende molto dal lavoro dell'ingegnere particolare. In molti casi, la matematica avanzata è davvero inutile. Un ingegnere civile ha citato il lavoro basato sul codice come esempio .

Come studente di dottorato che lavora in fluidodinamica computazionale, ho bisogno di una comprensione ragionevolmente solida di tutto attraverso le PDE. La matematica è uno strumento che uso per risolvere i problemi, proprio come uno sperimentatore potrebbe considerare un termometro uno strumento. Sviluppo modelli matematici (solitamente risolti dai computer) per l'utilizzo da parte mia e di altri ingegneri.

Argomenti trattati nella mia formazione universitaria in matematica che trovo utili nel mio lavoro:

• calcolo integrale, differenziale e vettoriale (praticamente tutto, anche se ammetto di aver usato i moltiplicatori di Lagrange solo una o due volte da quando ero studente)

• probabilità e statistica (la classe che ho avuto è stata piuttosto attenuata, tuttavia)

• equazioni differenziali (sia ordinarie che parziali)

Ho anche seguito un corso di analisi complesso universitario che ho trovato affascinante, anche se devo ammettere di non aver usato quasi nulla da allora. Alcuni dei corsi di laurea in matematica che ho seguito e che ho trovato utili includono l'analisi asintotica, la probabilità teorica della misura (non tanto per la teoria della misura, direttamente, ma per pensare più attentamente) e PDE numerici.

Il mio background di equazioni differenziali di undergrad era abbastanza carente, comunque. La classe ODE di base deve essere difficile da insegnare, perché (approssimativamente) il 75% degli studenti non ha bisogno di sapere molto sugli ODE e l'altro 25% deve conoscere bene l'argomento. (Potrei scrivere molto di più su questo argomento, in particolare, quali aree ritengo carenti.)

Voglio andare un po 'tangente per affrontare un argomento correlato. Ci sono un gran numero di ingegneri che credono che la matematica avanzata sia più inutile per loro di quanto non sia in realtà, e spesso sono piuttosto vocali al riguardo. Alcuni ingegneri sembrano fare di tutto per evitare di usare qualsiasi tipo di matematica ^[1] , anche se sarebbe utile. Una società che ha cercato di reclutare persone del mio gruppo di ricerca si vantavache non fanno matematica, come se ciò ci attirasse. Ad essere sinceri, sono diventati uno scherzo interiore. Gran parte del loro lavoro si basa sul codice e, sebbene i codici tendano ad essere conservativi, non sono sempre corretti o utili in ogni caso. Quando qualcuno deve esprimere un "giudizio ingegneristico", spero che il giudizio si basi su un modello matematico basato sull'evidenza e non sulla speculazione. (Non sono sicuro del perché questa opinione sull'utilità della matematica avanzata esista, ma penso che provenga in parte dalla difficoltà della matematica e anche dall'ignoranza.)

Gli ingegneri che non usano la matematica avanzata dovrebbero almeno essere consapevoli delle potenziali insidie ​​dell'uso cieco di software di ingegneria basato sulla matematica avanzata. Molti ingegneri si fidano del software come se il suo risultato fosse infallibile. Sono finanziato da un'agenzia governativa che produce un software di simulazione (e aiuto a sviluppare il software) e ricordo che uno dei loro ingegneri è gravemente infastidito dagli utenti che affermano di aver scoperto una nuova fisica: temperature più alte della temperatura adiabatica della fiamma (la più alta temperatura possibile in combustione a causa della prima legge). Quello che è realmente accaduto è che il software di simulazione non ha utilizzato un " TVD"e gli sviluppatori hanno ipotizzato (forse implicitamente) che le persone che utilizzano il software riconoscessero quando le cose andavano male e aggiungessero ulteriore risoluzione. La mia impressione è che non volessero rendere il software infallibile perché rallenterebbe drasticamente le cose, ma apparentemente questo problema è emerso così tante volte che hanno aggiunto l'algoritmo infallibile.

Questo non significa che la matematica avanzata sia sempre necessaria. Mentre alcuni ingegneri potrebbero considerare divertente esagerare con una sofisticazione matematica, se non è necessario risolvere un problema, è probabilmente una perdita di tempo.

_{[1] Per inciso, lo stesso vale per la programmazione. Per una lezione insegnata dal mio advisor di MS, ha specificamente progettato un compito "impossibile" da risolvere in Excel perché ha richiesto molte volte la soluzione di grandi sistemi lineari di equazioni. Di gran lunga il modo più semplice per farlo sarebbe scrivere alcune dozzine di righe di codice. Ha richiesto alle persone di inserire il proprio codice per ricevere credito. Ha ancora ricevuto fogli di calcolo! Apparentemente puoi farlo in Excel, ma devi digitare manualmente la matrice! Sicuramente non facile o divertente quando hai bisogno di una matrice 500x500.}

Se dovessimo rispondere molto brevemente a questa domanda, direi:

(1) Gli ingegneri usano i codici e il codice di applicazione non necessita di calcolo, ma solo di calcoli e software.

(2) La maggior parte degli ingegneri utilizza codici scritti da altri nella loro carriera.

(3) I migliori scrivono e modificano codici e software, usano la matematica. Rendono i problemi complessi semplificati per gli altri, li mettono in tabelle, software e formule aritmetiche.

Le risposte generalmente danno punti validi, ma penso che manchino il vero motivo per cui gli ingegneri prendono un curriculum di matematica di 2 anni piuttosto standard: efficienza nell'apprendimento del resto dei loro corsi. Le persone che hanno ideato i curricula originali non erano interessate a creare una base di "arti liberali" in cui il calcolo avrebbe esercitato la tua mente ecc. Volevano formare ingegneri, chiari e semplici.

Ma per formare gli ingegneri, devi insegnare loro materie come meccanica, fluidi, onde, ecc. Per imparare in modo efficiente questi diversi argomenti, hai bisogno di calcolo e algebra lineare. Sicuramente puoi sostituire un argomento di calcolo inventando qualche argomento molto intelligente ed elementare, ma è molto meglio dare UN argomento tramite calcolo che comprende una varietà di casi. La stessa cosa vale per l'algebra lineare. Ad esempio, il concetto di se lo spazio nullo di un sistema lineare sia banale o meno si lega abbastanza bene al concetto analogo in ODE lineari.

Si potrebbe discutere tutto il giorno se l'apprendimento in questo modo rende un ingegnere migliore o meno, ma una cosa è chiara a chiunque gli venga insegnato: questo è un modo molto efficiente di formare ingegneri. E quanto bene si capisce la matematica insegnata avrà un effetto diretto su quanto si capisce il resto del curriculum di ingegneria.

Quando frequentavo i corsi come "studente speciale" alla Carnegie Mellon University di Pittsburgh (a metà degli anni '70), la "matematica ingegneristica" consisteva in algebra lineare, equazioni differenziali ordinarie e parziali e "argomenti speciali" come serie di potenze e soluzioni della serie fourier, nonché trasformazioni LaPlace. Questa è una scuola di ingegneria "pesante" e molti avranno programmi "più leggeri".