Principio alla base del metodo geometrico per la costruzione di un pentagono regolare

Voglio chiedere il principio o l'idea da cui dipendeva la gente che ha inventato il metodo geometrico per disegnare un pentagono regolare. So come seguire i passaggi descritti di seguito per disegnare il pentagono, ma voglio sapere come questi passaggi ci hanno portato a un pentagono regolare. Devono aver dipeso da una regola, una legge, un'idea o qualcosa del genere, quindi cos'è?

Nota: sto parlando del metodo geometrico spiegato nelle immagini, non del metodo del divisore.

Esistono molti modi per farlo, ma dipendono tutti dallo stesso fatto di base che i seni e i coseni degli angoli e implicano . Ad esempio . Dato che , questi angoli possono essere costruiti partendo da un triangolo rettangolo con i lati , e ipotenusa .$36°$$72°$$\sqrt 5$$\cos 36° = (1 + \sqrt 5)/4$$\sqrt 5 = \sqrt{1^2 + 2^2}$$1$$2$$\sqrt 5$

Nella costruzione del PO, dovrebbe essere ovvio come appare nella lunghezza di AE e AB.$\sqrt 5$

Euclide diede una costruzione (piuttosto lunga) di Elements , libro IV, proposizione 11 e dimostrò che era corretta usando solo la geometria.

Di solito è più facile dimostrare che le costruzioni "più veloci" come gli OP sono corrette usando il trig, piuttosto che la geometria pura.

Gauss ha risposto alla domanda più generale su "quali poligoni regolari possono essere costruiti usando solo righello e compassi" (cioè senza strumenti di misurazione consentiti). Sono noti solo 31 poligoni di questo tipo con un numero dispari di lati, i più piccoli con 3, 5, 15, 17 e 51 lati. Il più grande noto ha 4.294.967.295 lati. È un problema matematico irrisolto se ne esistono altri e, in tal caso, se ne esiste un numero finito o infinito.

Vedere:

• Wikipedia: poligono costruibile
• OEIS: valori dispari di n per i quali un normale n-gon può essere costruito da compasso e scala
• Wolfram MathWorld: Fermat Prime

Sono stati ideati diversi metodi per costruire pentagoni, tra cui il metodo di Richmond e i circoli di Carlyle. I metodi classici si basano sulla matematica: la trigonometria e la teoria dei triangoli di Pitagora.

Un'animazione del metodo di cui stai chiedendo è nell'articolo di Pentagoni di Wikipedia .

_{Fai clic sull'immagine per espandere e vedere l'animazione}

Wolfram , fornisce anche una buona descrizione del metodo,

Euclide ha mostrato come scrivere un pentagono regolare in un cerchio. Tolomeo diede anche un righello e una costruzione a compasso per il pentagono nella sua opera epocale The Almagest.