Diffusione esterna: calcolo della concentrazione superficiale

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Sto lottando un po 'con un problema di diffusione esterna. Sto cercando di calcolare la concentrazione in superficie (così come la velocità di reazione superficiale) e vorrei un aiuto o una guida.

Ecco quello che ho finora.

La reazione in atto è

$D$

Voglio calcolare la concentrazione di B sulla superficie di una particella di catalizzatore sferica.

Flusso:

$D$

Ora, dall'equazione di diffusione:

$D$ .

R_A può essere approssimato dalla velocità di reazione del primo ordine

$D$

così

$D$

(ignora il " 2" dopo il =)

Ora, le condizioni al contorno che penso dovrei usare sono

$d$

Nota , in ogni momento, ho già i valori delle concentrazioni bulk tutti componenti, e ho anche avere valori di D_i,je D_i,mixper tutti i, j.

Le mie condizioni al contorno sono scelte correttamente per risolvere la concentrazione superficiale di B (cioè c_B o y_B o P_B, che sono tutte correlate)?

Modificare:

Ho bisogno di valori di superficie per il calcolo del fattore di efficacia. Posso usare qualsiasi modo per calcolare i valori di superficie con i valori che ho già.

Ho scelto r come qualsiasi punto nella direzione radiale, anche "oltre" la sfera (quando si va da r = 0, il centro), delta = lo spessore dello strato limite.

Modifica 2:

Sembra che potrei averlo complicato troppo. Sulla base di questo video, il volume di controllo considerato è solo la parte gassosa - lo strato limite. Ciò è corretto, poiché si presume che la reazione abbia luogo solo sulla superficie del catalizzatore e non nella fase gassosa stessa.

In tal caso, $R_B=0$

$\therefore \large{ \frac{\partial }{\partial r}\left ( r^2 \frac{2cD_{B,\text{mix}}}{y_B-2} \frac{\partial y_B}{\partial r} \right)=0}$

Quindi, a e $y_B(0)=y_{B,\text{surf}}$ $y_B(\delta)=y_{B,\text{bulk}}$

!! Ah, ho appena realizzato un errore nelle mie condizioni al contorno. A , siamo al centro della sfera, quindi la condizione al contorno non è corretta. !! $r=0$

Quindi, proviamo di nuovo:

At e $y_B(r=r_{sphere})=y_{B,\text{surf}}$ $y_B(\delta)=y_{B,\text{bulk}}$

Da Matlab : $\large{y_B= 2+{\left (y_{B,\text{bulk}}-2 \right )} \left ( \frac{y_{B,\text{surf}}-2}{y_{B,\text{bulk}}-2} \right )^{\left (\frac{r_{\text{sphere}}\left ( \delta -r \right )}{r\left ( \delta -r_{\text{sphere}} \right )} \right )} }$

E adesso? Come ottengo i valori di concentrazione superficiale? Dal momento che non conosco lo spessore del livello limite ( )? $\delta$

— Mierzen
fonte

In primo luogo; un'immagine parla di mille parole, sarebbe di grande aiuto nella comprensione del problema. in secondo luogo; Puoi indicare quali sono i tuoi numeri adimensionali rilevanti (Dahmkohler) e il loro valore? Ad esempio, se allora, per approssimazione, puoi dire che la concentrazione superficiale del tuo reagente limitante è zero.

Da ≫ 1

$\text{Da}\gg1$

— nluigi,

1

Nel modo in cui hai risolto il tuo problema, hai trattato la concentrazione sulla superficie della sfera come noto ( ). Si noti che nella risposta finale, se si inserisce tutto ciò che si ottiene è . Invece, la tua condizione al contorno in superficie dovrebbe essere qualcosa del genere: $y_{B,\text{surf}}$ $r=r_\text{sphere}$ $y_{B,\text{surf}}$

N_{B, r} = - K_{1} P_{B}^{0.5} = - K_{1} y_{B}^{0.5} P^{0.5}

$N_{B,r}=-K_1P_B^{0.5}=-K_1y_B^{0.5}P^{0.5}$

Qui stai equiparando il flusso sulla superficie della particella di catalizzatore (dove sta avvenendo la reazione) alla velocità di reazione. Riorganizzando puoi scrivere che in , è: $r=r_\text{sphere}$ $y_{B,\text{surf}}$

{(\frac{N_{B, r}}{- K_{1} P^{0.5}})}^{2}

$\left(\frac{N_{B,r}}{-K_1P^{0.5}}\right)^{2}$

Ora potresti risolvere il problema per trovare il valore di che è costante allo stato stazionario secondo le tue equazioni. È possibile ottenere un'equazione trascendentale di che richiede una soluzione numerica o grafica. $N_{B,r}$ $N_{B,r}$

Un avvertimento, tutto questo si basa su un modello cinematografico di trasporto di massa e reazione eterogenea. Significa che avrai bisogno di alcuni dati sperimentali per correlare la velocità di reazione allo spessore del modello di pellicola, . $\delta$

— Salomon Turgman
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-1

Se possiamo supporre che la sfera abbia un raggio e che sia lo spessore dello strato limite che circonda la sfera, le condizioni al contorno che vorrei usare sono $r_0$ $\delta$

y_{B} (r = r_{0} + δ) = y_{B, b u l k}

$y_B(r= r_0 + \delta)=y_{B,bulk}$

\frac{\partial y_{B}}{\partial r} |_{r = 0} = 0

$\frac{\partial y_B}{\partial r} \bigg|_{r=0}=0$

Il primo (condizione al contorno di Dirichlet) è quello che hai già. Il secondo (condizione al contorno di Neumann) è dovuto alla simmetria della particella sferica.

Tuttavia, la diffusione attraverso lo strato limite sarà un'equazione separata dalla diffusione attraverso la sfera. Dovrai impostare una sorta di condizione di continuità in modo che le due soluzioni producano lo stesso valore di dove si intersecano sulla superficie della sfera. $y_B$

— Carlton
fonte

In questo momento non ho necessariamente bisogno di valori per y_B all'interno della sfera stessa. È necessaria solo la concentrazione superficiale e posso usare qualsiasi modo per ottenerla, motivo per cui ho pensato di utilizzare l'approccio dello strato limite: alla fine, hai condizioni di massa e all'inizio hai condizioni di superficie.

— Mierzen,

Penso che la tua seconda condizione al contorno sia sbagliata qui poiché il dominio per la diffusione esterna non include la posizione r = 0.

— Salomon Turgman,