Come determinare la lunghezza caratteristica nei calcoli dei numeri di reynolds in generale?

Comprendo che il numero di reynolds è dato dall'espressione , dove è la densità, è la velocità del fluido e è la viscosità dinamica. Per ogni dato problema di fluidodinamica, sono dati banalmente , e . Ma qual è esattamente la lunghezza caratteristica ? Come lo calcolo esattamente? Cosa posso usare da un determinato problema per determinare automaticamente la lunghezza caratteristica? $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— Paolo
fonte

Potresti spiegare perché Reynoldsnumber è la somiglianza che descrive il tuo problema di flusso?

— rul,

Risposte:

Vorrei affrontare questa domanda da una prospettiva matematica che può essere fruttuosa come discusso in alcuni dei commenti e delle risposte. Le risposte fornite sono utili, tuttavia vorrei aggiungere:

In generale la scala di lunghezza più piccola disponibile è la scala di lunghezza caratteristica.
A volte (ad esempio nei sistemi dinamici) non esiste una scala di lunghezza fissa da scegliere come scala di lunghezza caratteristica. In tali casi spesso è possibile trovare una scala di lunghezza dinamica.

Scale di lunghezza caratteristiche:

TL; DWTR: per,è la scala di lunghezza caratteristica; per,è la scala di lunghezza caratteristica. Ciò implica che la scala di lunghezza più piccola è (solitamente) la scala di lunghezza caratteristica. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Considera il caso del flusso di tubi discusso nelle altre risposte; c'è il raggio ma anche la lunghezza del tubo. Normalmente consideriamo il diametro del tubo la scala caratteristica della lunghezza, ma è sempre così? Bene, vediamo questo da una prospettiva matematica; definiamo le coordinate senza dimensioni: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Qui, , , , sono le coordinate - e le scale di velocità ma non necessariamente le loro scale caratteristiche. Si noti che la scelta della scala di pressione è valida solo per . Il caso richiede un . $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Trasformando l'equazione di continuità in quantità senza dimensioni:

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

che può succedere solo quando assumiamo o . Sapendo questo, il numero di Reynolds può essere ridefinito: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

Allo stesso modo, trasformiamo le equazioni di Navier-Stokes (componente solo per farla breve): Vediamo qui il numero di Reynolds che si presenta naturalmente come parte del processo di ridimensionamento. Tuttavia, a seconda del rapporto geometrico , le equazioni potrebbero richiedere il riscalamento. Considera i due casi: $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

Il raggio del tubo è molto più piccolo della lunghezza del tubo (cioè ): $R/L\ll1$

L'equazione trasformata quindi recita: Qui abbiamo un problema perché il termine potrebbe essere molto grande e un'equazione correttamente ridimensionata ha solo coefficienti o inferiore. Quindi abbiamo bisogno di riscalare le coordinate , velocità e pressione:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Questa scelta di quantità riscalate assicura che l'equazione di continuità rimanga nella forma: The Navier-Stokes equazioni in termini di rese delle quantità riscalate: che è correttamente ridimensionato con coefficienti di o inferiori quando prendiamo i valori . Ciò indica che la scala di pressione non ha avuto bisogno di riscalare ma le scale di lunghezza e velocità sono state ridefinite: $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ e vediamo che la lunghezza caratteristica e la scala di velocità per rispettivamente e non è e come ipotizzato all'inizio ma e . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
Il raggio del tubo è molto più grande della lunghezza del tubo (es. ) $R/L\gg1$ :

L'equazione trasformata quindi recita: Analogamente al caso precedente, potrebbe essere molto grande e richiede un riscalaggio. Tranne che questa volta è necessario il riscalamento delle coordinate , velocità e pressione: Questa scelta di quantità riscalate garantisce nuovamente che l'equazione di continuità rimanga nella forma:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Le equazioni di Navier-Stokes in termini di rese delle quantità riscalate: che è correttamente ridimensionato con coefficienti di o più piccolo quando prendiamo i valori . Ciò indica che lunghezza, velocità e scale di pressione sono state ridefinite: $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ e vediamo che le scale caratteristiche di lunghezza, velocità e pressione rispettivamente per , e non sono , , come ipotizzato all'inizio ma , e . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

Nel caso avessi dimenticato il punto di tutto questo: per , è la scala di lunghezza caratteristica; per , è la scala di lunghezza caratteristica. Ciò implica che la scala di lunghezza più piccola è (di solito) la scala di lunghezza caratteristica. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Scale dinamiche di lunghezza:

Considera la diffusione di una specie in un dominio semi-infinito. Poiché è infinito in una direzione, non ha una scala di lunghezza fissa. Invece una scala di lunghezza è stabilita dallo "strato limite" che penetra lentamente nel dominio. Questa "lunghezza di penetrazione" come talvolta viene chiamata la scala di lunghezza caratteristica viene data come:

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

dove è il coefficiente di diffusione e è il tempo. Come visto, non vi è alcuna scala di lunghezza coinvolta in quanto è completamente determinata dalla dinamica di diffusione del sistema. Per un esempio di tale sistema, vedi la mia risposta a questa domanda. $D$ $t$ $L$

— nluigi
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Cosa intendi esattamente per disponibile quando dici "la più piccola scala di lunghezza disponibile "? Cosa determina esattamente cosa è disponibile e cosa no?

— Paul,

@Paul 'disponibile' era inteso in relazione a evidenti scale di lunghezza geometriche come lunghezza, altezza, larghezza, diametro, ecc. Ciò in contrasto con scale di lunghezza dinamiche che sono molto meno ovvie e sono determinate dalla dinamica del sistema.

— nluigi,

Esiste una giustificazione particolare per l'utilizzo generale della "lunghezza disponibile più piccola" rispetto a qualsiasi altra lunghezza disponibile?

— Paul,

@Paul I gradienti sono generalmente i più grandi lì, quindi la maggior parte del trasporto avviene su piccole scale di lunghezza

— nluigi,

grazie per averlo messo insieme. idk se è giusto però

— Dan Powers il

Questa è una domanda pratica, empirica, non teorica che può essere "risolta" dalla matematica. Un modo per rispondere è partire dal significato fisico del numero di Reynolds: rappresenta il rapporto tra forze di inerzia "tipiche" e forze viscose nel campo di flusso.

Quindi, guardi un tipico schema di flusso e scegli la migliore misurazione della lunghezza per rappresentare quel rapporto di forze.

Ad esempio, nel flusso attraverso un tubo circolare, le forze viscose (taglio) dipendono dal profilo di velocità dall'asse del tubo alle pareti. Se la velocità lungo l'asse del tubo rimane la stessa, il raddoppio del raggio dimezzerà (approssimativamente) la velocità di taglio tra l'asse e le pareti (dove la velocità è zero). Quindi il raggio, o il diametro, sono una buona scelta per la lunghezza caratteristica.

Ovviamente Re sarà diverso (di un fattore 2) se scegli il raggio o il diametro, quindi in pratica ognuno fa la stessa scelta e tutti usano lo stesso valore critico di Re per il passaggio dal flusso laminare a quello turbolento. Da un punto di vista ingegneristico pratico, la dimensione di un tubo è specificata dal suo diametro poiché è ciò che è facile da misurare, quindi potresti usare il diametro anche per Re.

Per un tubo approssimativamente circolare, è possibile decidere (con una sorta di argomento fisico simile) che la circonferenza del tubo sia in realtà la lunghezza più importante e quindi confrontare i risultati con tubi circolari utilizzando un "diametro equivalente" definito come (circonferenza / pi).

D'altra parte, la lunghezza del tubo non ha molta influenza sul modello di flusso del fluido, quindi per la maggior parte dei casi sarebbe una cattiva scelta della lunghezza caratteristica per Re. Ma se stai considerando il flusso in un "tubo" molto corto in cui la lunghezza è molto inferiore al diametro, la lunghezza potrebbe essere il numero migliore da utilizzare come parametro che descrive il flusso.

— alephzero
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Non sono d'accordo con la tua affermazione che la matematica non può aiutare qui. La procedura che descrivi non sarebbe utile in molti casi senza scale di lunghezza evidenti, come uno strato limite. Questa è la domanda a portata di mano. L'analisi dimensionale delle equazioni di governo si è rivelata abbastanza utile nel trovare scale di lunghezza rilevanti in strati limite laminari e turbolenti, ad esempio, rispettivamente la scala di spessore dello strato limite laminare e le scale di lunghezza viscosa. Il ridimensionamento in campo lontano dei pennacchi termici è un altro caso in cui è molto meno ovvio come eseguire l'analisi suggerita, ma l'analisi dimensionale aiuta.

— Ben Trettel,

@BenTrettel - Concordo sul fatto che un'analisi dimensionale può essere di grande aiuto nel determinare la scala di lunghezza caratteristica. Vedi la mia risposta per un esempio "semplice".

— nluigi,

Esistono tre modi principali per determinare quali gruppi di termini (più generali delle semplici scale di lunghezza o tempo) sono rilevanti. Il primo è per la matematica, che potrebbe comportare la risoluzione analitica di un problema o un problema analogo o appropriato e vedere quali termini compaiono e fare selezioni che semplificano le cose nel modo più appropriato (più su questo di seguito). Il secondo approccio è basato su tentativi ed errori, più o meno. Il terzo è il precedente, di solito quando in passato qualcun altro ha già effettuato una sorta di analisi precedentemente menzionata in questo problema o in quelle correlate.

Esistono diversi modi per eseguire analisi teoriche, ma una utile in ingegneria è l'equazione non dimensionalizzante delle equazioni. A volte, la lunghezza caratteristica è ovvia, come nel caso di un flusso di tubi. Ma altre volte, non ci sono lunghezze caratteristiche ovvie , come nel caso dei flussi a taglio libero o di uno strato limite. In questi casi, puoi rendere la lunghezza caratteristica una variabile libera e sceglierne una che semplifichi il problema . Ecco alcune buone note sulla non dimensionalizzazione , che hanno i seguenti suggerimenti per trovare scale caratteristiche di tempo e lunghezza:

(sempre) Rendi quante più costanti non dimensionali uguali a una possibile.

(di solito) Rendi le costanti che appaiono nelle condizioni iniziali o al contorno uguali a una.

(di solito) Se esiste una costante non dimensionale che, se dovessimo impostarlo uguale a zero, semplificherebbe notevolmente il problema, permettendogli di rimanere libero e quindi vedere quando possiamo renderlo piccolo.

L'altro approccio principale è quello di risolvere completamente un problema e vedere quali gruppi di termini compaiono. Generalmente la lunghezza pertinente è ovvia se si prende il termine da questo tipo di analisi teorica, sebbene questo tipo di analisi sia spesso più facile a dirsi che a farsi.

Ma come fai a capire se non hai un'analisi teorica da cui partire? Spesso, non importa troppo quale lunghezza scegli. Alcune persone sembrano pensare che ciò sia confuso, perché gli è stato insegnato che la transizione di turbolenza avviene a di 2300 (per un tubo), o 500.000 (per un piatto piatto). Riconosci che nella custodia del tubo, non importa se scegli il diametro o il raggio. Ciò riduce il numero critico di Reynolds di un fattore due. Ciò che conta è assicurarsi che tutti i criteri che usi siano coerenti con la definizione del numero di Reynolds che usi e con il problema che stai studiando . È tradizione che impone di utilizzare il diametro per i flussi di tubi. $Re$

Inoltre, per essere generali, l'analisi o la sperimentazione potrebbe suggerire un altro numero, ad esempio il numero Biot, che ha anche una "lunghezza caratteristica". Le procedure in questo caso sono identiche a quelle già menzionate.

A volte è possibile effettuare un'analisi euristica per determinare la lunghezza pertinente. Nell'esempio del numero di Biot, questa lunghezza caratteristica viene solitamente indicata come volume di un oggetto diviso per la sua superficie, poiché ciò ha senso per i problemi di trasferimento di calore. (Volume maggiore = trasferimento di calore più lento al centro e area di superficie maggiore = trasferimento di calore più veloce al centro.) Ma suppongo che sia possibile derivarlo da alcune approssimazioni. È possibile formulare un argomento simile giustificando il diametro idraulico .

— Ben Trettel
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Se scelgo L arbitrariamente e il problema non è canonico in modo tale che i regimi di flusso e le soluzioni analitiche non siano noti a priori, allora la prova e l'errore sono davvero l'unico modo?

— Paul,

Io non la penso così. Potresti essere in grado di ottenere qualcosa di utile non dimensionando le equazioni di governo rilevanti con lunghezza e scale temporali arbitrarie. Questo è generalmente il mio primo passo quando analizzo un problema con chiare equazioni di governo ma nessuna scala di lunghezza o tempo chiara. Se sei confuso su come farlo nel tuo caso particolare, pubblicalo come una domanda qui e io ci proverò.

— Ben Trettel,