Inarcamento: nella realtà si verificano forme con n> 1?

Nell'instabilità delle colonne sappiamo che:

P = \frac{n^{2} π^{2} E I}{L^{2}}

$P = \dfrac{n^2\pi^2EI}{L^2}$

Il valore più piccolo di P si verifica quando che fornisce una forma di instabilità semplice (un'onda): $n=1$

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}}

$P_{cr} = \dfrac{\pi^2EI}{L^2}$

Tuttavia per , come mostrato di seguito, la forma di instabilità è più complessa e presenta molte onde: $n > 1$

La mia domanda è: le forme della modalità di instabilità per verificano mai nella realtà? Se la colonna inizia a deformarsi secondo la forma per , non continuerebbe a deformarsi in questo modo fino al fallimento? Come potrebbero mai verificarsi le altre modalità di instabilità? $n > 1$ $n = 1$

— pauloz1890
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Risposte:

L' esistenza o meno delle modalità di instabilità con dipende dal modo in cui si osserva la struttura. $n>1$

Come osserva @hazzey nella sua risposta, le colonne con controventi possono visualizzare le modalità di instabilità con . Queste modalità di instabilità, tuttavia, sono semplicemente equivalenti alle modalità dei singoli segmenti che compongono la colonna. Per essere chiari, questo non significa che i segmenti si comportano in modo indipendente (non dovrai due lunghezze non controventati consecutivi buckling allo stesso lato), solo che ogni modalità può essere composto da una serie di continue modalità per le lunghezze senza ostacoli. $n>1$ $n=1$ $n>1$ $n=1$

Quindi, se si dispone di una colonna con un singolo controvento che si allaccia, si considera che una modalità per l'intera colonna o una modalità per ciascuna delle lunghezze non incrociate? Tutti e due? La tua chiamata. $n>1$ $n=1$

Per parafrasare il commento di @ starrise sulla risposta di @ hazzey, questo può essere dimostrato osservando l'equazione instabile:

\begin{aligned} P & = {(\frac{n}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{c o l u m n, n = 2} & = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{s e g m e n t, n = 1} & = {(\frac{1}{\frac{L}{2}})}^{2} π^{2} E I = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ ∴ P_{c o l u m n, n = 2} & = P_{s e g m e n t, n = 1} \end{aligned}

$\begin{align} P &= \left(\dfrac{n}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{column,\,n=2} &= \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{segment,\,n=1} &= \left(\dfrac{1}{\frac{L}{2}}\right)^2\pi^2EI = \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ \therefore P_{column,\,n=2} &= P_{segment,\,n=1} \end{align}$

— Wasabi
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Se stai osservando la colonna come supportata alle estremità, hai ragione che la modalità n = 1 fornisce il carico di deformazione più basso.

Le altre modalità (n = 2,3, ...) non sono però inutili. Le colonne lunghe sono spesso rinforzate a intervalli regolari per ridurre la lunghezza libera della colonna. Per una determinata lunghezza della colonna, queste parentesi forzano la fibbia della colonna in una modalità diversa (n = 2,3, ...) con il corrispondente aumento del carico di instabilità.

— hazzey
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Non mi rendevo conto che le forme modali si riferivano al controvento delle colonne, ma ha davvero senso ora che ci penso.

— pauloz1890,

Ma il carico per la modalità globale della colonna non sarebbe uguale alla modalità di uno dei suoi segmenti non protetti? Ciò significa che l'esistenza di modalità dipende dal modo in cui guardi la struttura. Se lo guardi da una prospettiva globale, sono possibili sì, modalità. Se, tuttavia, osservi i segmenti locali che compongono la struttura, esistono solo modalità. @ pauloz1890

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

— Wasabi

@Wasabi Sì, penso che sia quello che mi ha confuso, hai ragione.

— pauloz1890,

Come notato da @Wasabi, esistono solo modalità quando si considera il controvento. Per capire perché, nel caso , . Quindi che è identico al caso ma per una colonna più corta. Lo stesso vale naturalmente per qualsiasi . Questo dovrebbe avere senso dal momento che si può dire che la parte superiore e inferiore della colonna globale originale siano rinforzate nello stesso senso (almeno con queste condizioni al contorno).

n = 1

$n=1$

n = 2

$n=2$

L_{s e g m e n t} = L_{g l o b a l} / 2

$L_{segment}=L_{global}/2$

P = 4 π^{2} E I / (4 L_{s e g m e n t}^{2}) = π^{2} E I / L_{s e g m e n t}^{2}

$P=4\pi^2 EI/(4L_{segment}^2)=\pi^2 EI/L_{segment}^2$

n = 1

$n=1$

n

$n$

— wwarriner,

@SamWatkins, infatti, i casi non sono indipendenti. Non potevano esserlo, poiché stiamo parlando di un'unica colonna monolitica con rinforzi. Se entrambe le sezioni si piegassero sullo stesso lato, allora ci sarebbe una discontinuità nell'angolo di deformazione della colonna, il che è impossibile. L'affermazione che modalità sono in realtà solo una serie di modalità 1 non implica che ciascuna delle modalità 1 sia indipendente, ma piuttosto che una modalità si verifica nel mondo reale solo se può essere composta da un serie di modalità continue 1.

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

— Wasabi