Perché possiamo trascurare il termine inerziale (ma non viscoso) in Navier-Stokes a basso flusso e alta viscosità?

Perché possiamo trascurare il termine inerziale (ma non viscoso) in Navier-Stokes a basso flusso e alta viscosità?

Navier-Stokes completi: $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Termine inerziale: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

E poiché ipotizziamo un flusso stazionario e un basso tasso: . E quindi ne consegue che il termine inerziale può essere ignorato.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Tuttavia nel mio materiale si afferma anche che sarà il termine dominante in queste circostanze. Perché non sarà così che ∇ 2 → v → ∂ 2 → $\mu \nabla ^2 \vec{v}$pure?$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Di solito ciò che è implicito dalla bassa portata e dall'alta viscosità è che abbiamo a che fare con un cosiddetto flusso di numeri di Reynolds basso. Il numero di Reynolds è un numero senza dimensioni che è il rapporto tra forze inerziali ( ) e forza viscosa ( μ U / L ): R e = ρ U $\rho U U$$\mu U/L$ Per partireReforze viscose dominano (regime laminare) e per l'altaReforze inerziali domini (regime turbolento). Numeri senza dimensioni comeRe sipresentano naturalmente attraverso un processo noto come "ridimensionamento" in cui le equazioni sono rese non dimensionali; attraverso questo processo è quindi possibile dire quali termini sono trascurabili in base ai valori dei numeri rilevanti senza dimensione. Per ulteriori informazioni, controlla la mia risposta aquestadomanda.

Tecnicamente, dicendo 'bassa portata e alta viscosità' non è sufficiente dire che si tratta di un basso flusso perché dipende anche dalla scala di lunghezza L (solitamente un diametro del tubo, ecc) e la densità ρ (aria o acqua ), ma di solito è implicito che sia così.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Ora dicendo per una bassa portata che non è corretto; ciò che probabilmente intendi è che u β ∂ β u α ≪ μ ∂ 2 β u α . Ciò giustifica la semplificazione delle equazioni dicendo che u β ∂ β u α ≈ 0 che significa fisicamente che i termini inerziali sono completamente trascurabili rispetto ai termini viscosi. u β ∂ β u α ≈ 0 non implica ∂ β $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ piuttosto che la bassa portata implica u β ≈ 0 mentre ∂ β u α può essere significativo. Considera la stima dell'ordine di grandezza di ∂ β u α ∼ U / L ; per piccoli valori di L (articoli a partire R e ) può essere molto più grande di ordine O ( U ) . Un'analisi simile dell'ordine di grandezza dei termini viscosi ∂ 2 β u α ∼ U / L $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$$L$$\mathrm{Re}$$O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$mostra che questi saranno ancora più significativi. Quindi, il motivo per cui i termini inerziali sono trascurabili, ma non i termini viscosi.

$\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

$u$$\nabla u$$\nabla u$

$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$