Risposta di un sistema a una funzione a gradino (funzione Heaviside)

Vorrei calcolare la risposta a una funzione a gradino di un sistema elettrico / termico. In genere posso "facilmente" calcolare la funzione di trasferimento : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Poiché la trasformata di Fourier ( ) della funzione Heaviside è (calcolata con WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Quindi, notando la trasformata di Inverse Fourier: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Per verificare la mia matematica ho provato a calcolare la risposta per un semplice sistema RC:

Dovrei ottenere la ben nota carica del condensatore. La funzione di trasferimento:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Computando la trasformata inversa di Fourier ( ) con WA ( ) ottengo: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Ciò sarebbe corretto se tornassimo indietro nel tempo: /. Quindi la domanda è ... Cosa sto facendo di sbagliato?

Ho fatto lo stesso usando Laplace Transforms e tutto funziona bene ... Ma non capisco perché.

PS Non voglio un altro metodo, voglio solo capire cosa c'è di sbagliato nel mio approccio.

PS il motivo per cui sto usando WA è che per il mio sistema più complicato ho bisogno di calcolare le trasformate di Fourier usando WA.

— Worldsheep
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Questa non è la risposta che stai cercando, ma questo articolo su come eseguire una trasformata inversa discreta di Laplace praticamente per qualsiasi funzione di trasferimento potrebbe interessarti.

— user5108_Dan

Grazie per l'interessante link! Sto ancora cercando di capire perché sono necessarie le trasformazioni di Laplace. O meglio, perché le trasformazioni di Fourier non funzionano ...

— Worldsheep,

Conosci le trasformazioni di Laplace? Le trasformazioni di Laplace e di Fourier sono abbastanza simili, ma non sono un matematico abbastanza bravo da descrivere le differenze esatte. Gli EE in genere funzionano nel dominio s (trasformata di Laplace) che sarebbe lo stesso della tua equazione H (w) se sostituissi sostituisci jw con s. Inoltre, probabilmente otterrai una risposta migliore se pubblichi questa domanda sul sito dsp.stackexchange.com. Quei ragazzi sono in sintonia con queste cose.

— user5108_Dan

Sì, ho notato che EE funziona sempre con Laplace in questi casi e quando l'ho provato, ha funzionato bene! Ma intuitivamente, userei Fourier. Seguirò il tuo consiglio e visiterò l'altro sito!

— Worldsheep,

Puoi trovare una risposta a questa domanda qui: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep,

Il motivo principale è probabilmente dovuto a Wolfram Alpha che applica la trasformata inversa di Fourier come seconda trasformata di Fourier. In effetti, facendo così "capovolge il tempo" - come può essere mostrato matematicamente :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Applicando la trasformata di Fourier 3 volte al sistema otterrai la versione in tempo normale. Poiché le onde sono coerenti nel tempo, normalmente non importa.

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