Perché il rapporto di Poisson per 1/4 isotropico e il valore massimo 1/2 (quando non vi è alcuna variazione di volume netto)?

Sembra logico fino a quando ho provato alcuni esperimenti di pensiero. Quindi devo fare qualcosa di sbagliato. O mi manca un aspetto fondamentale.

Quello che ho pensato era:

-let dicono che hai un parallelepipedo ortogonale che viene tirato in tensione da un test di sforzo-deformazione. (nell'asse lungo o nella direzione z).

• i lati laterali sono 5 mm e 4 mm e la lunghezza assiale è 7 mm.

-E 'stato allungato dal test fino a quando il campione aveva una lunghezza assiale di 11 mm e ipoteticamente il lato laterale di 4 mm non è cambiato.

Quindi il volume originale era 4x5x7 = 140 mm ^ 3 e poiché non vi è alcuna variazione di volume netto, la lunghezza finale del lato laterale che è stata modificata deve essere: 140 = ax 11 x 4 -> a = 35/11 mm

ora se si calcola il rapporto di Poisson: v = - Ex / Ez

-> Ex = (35/11 -5) / 5 = -4/11 ed Ez = (11-7) / 7 = 4/7

v = 4/11: 4/7 = 7/11 = 0,64> 0,5

Come l'ho capito: non vi è alcun cambiamento di volume, quindi quando si allunga una direzione le altre due lo compensano comprimendo. E questo rapporto di poisson di 1/2 è nel caso estremo che una direzione non comprima e quindi l'altra parte deve prendere tutta la compressione. Come nella situazione in cui si allunga il lato assiale di due volte la sua lunghezza originale, quindi per avere lo stesso volume le altre due direzioni devono diventare ogni 1/4 della loro lunghezza originale o una direzione deve diventare 1/2 della sua lunghezza originale . Questo darà quindi un rapporto di poisson di 1/4 e 1/2. Quindi non capisco perché con altri esempi numerici non ottengo lo stesso rapporto 1/4 e 1/2.

Il rapporto dei primi veleni per i materiali isotropi si applica equamente tra ogni coppia di dimensioni. Ciò significa che se la lunghezza assiale viene allungata entrambe le dimensioni laterali si ridurrebbero di . Non so da dove stai ricevendo il numero 0,25.$1\%$$\nu 1\%$

In secondo luogo, questa approssimazione funziona solo quando la tensione è ridotta. Diciamo abbiamo un parallelepipedo ortogonale dimensioni , , e . Se applichiamo uno stress la direzione x e lasciamo che le dimensioni siano libere da stress. Quindi avremo:$x$$y$$z$$\sigma_x$

$$\epsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}$$ $$\epsilon_y=-\nu\frac{\sigma_x}{E}$$ $$\epsilon_z=-\nu\frac{\sigma_x}{E}$$

Quindi le nuove dimensioni sarebbero:

$$x'=x(1+\epsilon_x)$$ $$y'=y(1-\nu\epsilon_x)$$ $$z'=z(1-\nu\epsilon_x)$$

E il nuovo volume sarebbe:

$$V'=x'\,y'\,z'= x\,y\,z\, (1+\epsilon_x)(1-\nu\epsilon_x)^2$$

Quindi il rapporto tra il nuovo volume e il vecchio volume sarebbe:

$$\frac{V'}{V}=(1+\epsilon_x)(1-\nu\epsilon_x)^2=1+(1-2\nu)\epsilon_x+(\nu^2-2\nu)\epsilon_x^2+\nu^2\epsilon_x^3$$

Per ottenere l'aumento di volume, puoi sottrarre 1. Quindi ci sono altri tre termini, ma poiché è considerato piccolo, i termini quadrato e cubo dovrebbero essere dominati dal termine lineare. Quindi quei termini vengono generalmente trascurati e ti rimane . Se hai un solido incomprimibile, questo valore dovrebbe essere sempre zero, quindi deve essere uguale a$\epsilon_x$$(1-2\nu)\epsilon_x$$\nu$$0.5$

Vediamo un esempio più generale:

$$V=V'$$

Sta davvero dicendo:

$$\begin{split}1=(1+\epsilon_x)(1+\epsilon_y)(1+\epsilon_z)=&1+ \\ & \epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z + \\ & \epsilon_x \epsilon_y + \epsilon_y \epsilon_z + \epsilon_x \epsilon_z + \\ & \epsilon_x \epsilon_y \epsilon_z \end{split}$$

ma sempre supponendo che i ceppi siano piccoli, il prodotto di ceppi multipli dovrebbe essere veramente piccolo, quindi questa equazione semplifica a:

$$0=\epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z$$

Ora le equazioni generali per la colorazione nei materiali isotropi sono:

$$\epsilon_x=\frac1{E}(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z))$$ $$\epsilon_y=\frac1{E}(\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z))$$ $$\epsilon_z=\frac1{E}(\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y))$$

Possiamo sommarli tutti insieme per ottenere:

$$0=\epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z=\frac1{E}(1-2\nu)(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)$$

Quindi vediamo di nuovo quello per conservare il volume$\nu=\frac12$

Ora, perché non ha funzionato nel tuo esempio?

Quando hai applicato lo stretching, entrambe le altre direzioni avrebbero dovuto contrarsi. Affinché la seconda direzione non si contragga, anche quella direzione dovrebbe essere tirata. Questo tirare sulla seconda direzione contrarrebbe ulteriormente la terza direzione, ma contrarrebbe anche la prima direzione, quindi per rimanere nella sua posizione originale dovresti tirare ancora più forte.

Quindi hai specificato che ma questo è vero solo se c'è solo stress nella direzione x che non è il caso per il tuo scenario (perché deve esserci stato uno stress applicato a mantenere il lato di 4 cm a 4 cm).$\nu=-\frac{\epsilon_z}{\epsilon_x}$

Alla fine la tensione che hai applicato era troppo grande. Anche se si lasciano sforzare liberamente le due dimensioni laterali, si otterrebbe un rapporto di Poisson non uguale a 0,5 solo perché l'approssimazione della deformazione ridotta non sarebbe più valida:

$$\epsilon_x=\frac{11}{7}-1\approx 0.57$$

per conservare il volume:

$$\epsilon_y=\epsilon_z=\sqrt{\frac{7}{11}}-1 \approx -0.20$$

Che è un po 'meno della metà.