Energia di un fascio di Timoshenko 3D

Sono interessato all'energia cinetica T e all'energia potenziale U di un fascio di Timoshenko tridimensionale.

Per un raggio Timoshenko 2D le energie recitano:

T = \frac{1}{2} \int_{o}^{l} (ρ A {(\frac{\partial w}{\partial t})}^{2} + ρ I {(\frac{\partial Φ}{\partial t})}^{2}) d x

$T = \dfrac{1}{2} \int\limits_o^l \left( \rho A \left( \dfrac{\partial w}{\partial t} \right)^2 + \rho I \left( \dfrac{\partial \Phi}{\partial t} \right)^2 \right) dx$

U = \frac{1}{2} \int_{o}^{l} (E I {(\frac{\partial Φ}{\partial x})}^{2} + k A G {(\frac{\partial w}{\partial x} - Φ)}^{2}) d x

$U = \dfrac{1}{2} \int\limits_o^l \left( EI \left( \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + kAG \left( \dfrac{\partial w}{\partial x} - \Phi \right)^2 \right) dx$

Ma in queste formule e sono appena definiti nel piano xy. Come posso derivare le energie per la flessione in entrambe le direzioni (piano xy e piano yz) e torsione (attorno all'asse x)? $w$ $\Phi$

EDIT: Ho capito da solo una parte della domanda: poiché i raggi di Timoshenko sono una teoria lineare, si possono semplicemente aggiungere le energie di due deformazioni e ottenere le energie della sovrapposizione delle deformazioni. Pertanto:

T = \frac{1}{2} \int_{o}^{l} (ρ A {(\frac{\partial v}{\partial t})}^{2} + ρ A {(\frac{\partial w}{\partial t})}^{2} + ρ I {(\frac{\partial θ}{\partial t})}^{2} + ρ I {(\frac{\partial Φ}{\partial t})}^{2}) d x

$T = \dfrac{1}{2} \int\limits_o^l \left( \rho A \left( \dfrac{\partial v}{\partial t} \right)^2 + \rho A \left( \dfrac{\partial w}{\partial t} \right)^2 + \rho I \left( \dfrac{\partial \theta}{\partial t} \right)^2 + \rho I \left( \dfrac{\partial \Phi}{\partial t} \right)^2 \right) dx$

Dove

è la deflessione nel piano xy e

è la pendenza nel piano xy. Rispettivamente

per il piano yz. Qualcuno può confermare questo?

U = \frac{1}{2} \int_{o}^{l} (E I {(\frac{\partial Φ}{\partial x})}^{2} + E I {(\frac{\partial θ}{\partial x})}^{2} + k A G {(\frac{\partial v}{\partial x} - θ)}^{2} + k A G {(\frac{\partial w}{\partial x} - Φ)}^{2}) d x

$U = \dfrac{1}{2} \int\limits_o^l \left( EI \left( \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + EI \left( \dfrac{\partial \theta}{\partial x} \right)^2 + kAG \left( \dfrac{\partial v}{\partial x} - \theta \right)^2 + kAG \left( \dfrac{\partial w}{\partial x} - \Phi \right)^2 \right) dx$

w : R \times R^{+} \to R

$w: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$

Φ : R \times R^{+} \to R

$\Phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$

v

$v$

θ

$\theta$

Mancano ancora le energie per la torsione. La teoria di Saint-Venant può essere applicata qui?

— Ferdi811
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Giusto per essere abbondantemente chiari: stai chiedendo di piegarti in entrambe le direzioni contemporaneamente, giusto?

— Wasabi

Ciao @Wasabi! Sì, voglio avere entrambe le energie se piego il raggio sia in direzione xy che in direzione yz contemporaneamente.

— Ferdi811,

Probabilmente non capisco esattamente il punto, ma il modello di Timoshenko è stato praticamente sviluppato per estendere la teoria con il contributo degli effetti di taglio (che di solito è trascurabile per i raggi sottili).

La torsione è ortogonale alla flessione e di conseguenza non la considererai nel tuo calcolo dell'energia di deformazione da flessione.

Proprio come per riferimento, controlla la teoria del fascio vlasov per considerare l'effetto dell'accoppiamento di spostamento torsione-assiale.

Altri modelli più intelligenti possono prendere in considerazione anche l'accoppiamento di torsione e flessione e così via, ma sono almeno un'estensione del modello Timoshenko.

Spero che questo possa essere d'aiuto.

— Fabio M
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