Perché Mach 0.3 è la soglia che separa il flusso comprimibile e incomprimibile?

Ho letto che Mach 0.3 è praticamente il limite superiore per il trattamento dell'aria come fluido incomprimibile. Le fonti che ho letto sembrano considerare questo come un dato, senza prove o giustificazioni.

Perché questo è il limite? C'è una giustificazione matematica per questo? Inoltre, questo limite si applica solo all'aria? In caso contrario, da cosa dipende il limite?

fluid-mechanics

— Paolo
fonte

Wikipedia fornisce la ragione di Mach 0.3 come dovuto al fatto che questo raggiunge una variazione di densità del 5% circa.

Ho trovato una pagina della NASA che descrive (analiticamente!) La relazione. Ho citato la fonte, ma riprodurrò il lavoro qui per i posteri, nel caso in cui i loro collegamenti cambino.

Inizia con la conservazione della quantità di moto:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

dove è la densità del fluido, è la velocità e è la pressione. per flusso isentropico: $\rho$ $V$ $p$

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

dove è il rapporto di calore specifico. La legge del gas ideale prevede: $\gamma$

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

dove è la costante specifica del gas e è la temperatura assoluta. Quindi, sostituendo: $R$ $T$

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

La velocità del suono può essere calcolata da:

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

dove è la velocità del suono, quindi: $a$

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Sostituendo l'espressione sopra nella conservazione dell'equazione del momento si ottiene:

(ρ V) d V = - a^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{a^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

dove è il numero di Mach. Questo dà un numero di Mach di 0,3 pari a circa una variazione di densità del 5% circa. $M$

Come nota, questo si basa sul numero di Mach, che a sua volta dipende dalla velocità del suono nel gas, quindi viene automaticamente regolato in base al gas.

— Mandrino
fonte

@Paul questo deriva dalla conservazione della quantità di moto. non è tanto una "regola" quanto un suggerimento. se non ti interessa il 10% (o più) delle variazioni di densità (o altre quantità), vai avanti e usa le relazioni incomprimibili per numeri Mach elevati. se si fa cura di piccoli cambiamenti nella densità, quindi utilizzare i rapporti comprimibili, anche per i numeri bassi Mach

— costrom

Non è solo densità. Quando non dimensionalizziamo le equazioni, otteniamo gruppi senza dimensioni. La regola empirica è che se un gruppo senza dimensioni è inferiore a 0,1, possiamo ignorare i termini pertinenti. Nel caso del numero di Mach si presenta al quadrato. Quindi vogliamo il (numero Mach) ^ 2 <0.1. Questo dà circa 0,3. Non è solo la densità - fondamentalmente tutte le cose che cambiano a velocità più elevata saranno influenzate di circa il 10% una volta che il numero di Mach raggiunge lo 0,3.

— Joel

@Joel - Per il contesto, OP ha chiesto specificamente la compressibilità, motivo per cui questa risposta riguarda solo la densità.

— Chuck,

Vorrei chiarire che non è una linea di demarcazione netta. Se hai una tolleranza inferiore per gli errori, inizia a utilizzare la soluzione comprimibile con numeri di mach inferiori. Se non ti interessa così tanto, continua ad assumere incomprimibilità con numeri di mach più alti. Il 10% è solo una scelta arbitraria di quanti errori "contano davvero", e 0,3 cade matematicamente, ma non meno arbitrariamente.

— Hobbs,

@chuck - chiacchierando qui, ma trattare qualcosa come un fluido incomprimibile significa che posso dire che la divergenza del campo di velocità è 0. Ciò influisce molto più della semplice densità - al punto che quando vado a parlare e qualcuno dice sta assumendo che sia un fluido incomprimibile, di solito non è un'affermazione sulla densità.

— Gioele,