Qual è la differenza tra il momento di inerzia polare, e la costante torsionale, di una sezione trasversale?

Questa domanda è così fondamentalmente basilare che sono quasi imbarazzata da porre ma è arrivata al lavoro l'altro giorno e quasi nessuno in ufficio potrebbe darmi una buona risposta. Stavo calcolando la sollecitazione di taglio in un membro usando l'equazione, e notato che, per un albero con una sezione trasversale circolare, .$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

Sia che sono usati per descrivere la capacità di un oggetto di resistere alla torsione. è definito come dove = la distanza radiale dall'asse attorno al quale viene calcolato . Ma non ha esatte equazioni analitiche ed è calcolato in gran parte con equazioni approssimative su cui nessun riferimento a cui ho guardato è stato realmente elaborato.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Quindi la mia domanda è: qual è la differenza tra il momento di inerzia polare, e la costante torsionale, ? Non solo matematicamente, ma praticamente. Di quale proprietà fisica o geometrica è ciascuna una rappresentazione? Perché è così difficile da calcolare?$I_P$$J_T$$J_T$

La costante di torsione collega l'angolo di torsione alla coppia applicata tramite l'equazione: dove è la coppia applicata, è la lunghezza , è il modulo di elasticità nel taglio e è la costante torsionale.$J_T$

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

Il momento di inerzia polare, d'altra parte, è una misura della resistenza di una sezione trasversale alla torsione con sezione trasversale invariante e nessuna deformazione significativa .

Il caso di un'asta circolare sotto torsione è speciale a causa della simmetria circolare, il che significa che non si deforma e la sua sezione trasversale non cambia sotto torsione. Pertanto .$J_T = I_P$

Quando un membro non ha simmetria circolare, allora possiamo aspettarci che si deformi sotto torsione e quindi $J_T \neq I_P$.

Il che lascia il problema di come calcolare $J_T$. Purtroppo questo non è semplice, motivo per cui vengono tabulati i valori (generalmente approssimativi) per le forme comuni.

Un modo per calcolare la costante torsionale consiste nell'utilizzare la funzione di stress Prandtl (un altro è utilizzare le funzioni di deformazione ).

Senza entrare troppo nei dettagli, si deve scegliere una funzione di stress Prandtl $\Phi$che rappresenta la distribuzione dello stress all'interno del membro e soddisfa le condizioni al contorno (non facile in generale!). Deve inoltre soddisfare l'equazione di compatibilità di Poisson:

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ Dove $\theta$ è l'angolo di torsione per unità di lunghezza.

Se abbiamo scelto la funzione stress in modo che $\Phi = 0$ sul confine (condizione al contorno libera da trazione) possiamo trovare la costante torsionale tramite:

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Esempio: asta di sezione circolare

A causa della simmetria di una sezione trasversale circolare possiamo prendere:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ dove R è il raggio esterno. Quindi otteniamo: $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Esempio: asta di sezione ellittica

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ e $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ che non è certamente uguale al momento di inerzia polare di un'ellisse: $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Dal momento che in generale $J_T < I_P$, se si usasse il momento di inerzia polare invece della costante torsionale, si calcolerebbero angoli di torsione più piccoli.

Questa è quasi una coincidenza ed è vera solo per sezioni trasversali circolari solide o vuote. Ovviamente gli alberi che trasportano la torsione sono spesso circolari, per ragioni indipendenti dalla domanda!

La torsione di un albero circolare è fisicamente semplice a causa della simmetria della forma circolare. Per simmetria, le sollecitazioni e le deformazioni in qualsiasi punto possono essere solo una funzione della distanza radiale dalla linea centrale dell'albero. Con il teorema di Pitagora, puoi prendere una coppia arbitraria di assi ed esprimere il raggio come$r^2 = x^2 + y^2$.

Usando questo fatto, puoi convertire l'integrale sulla sezione trasversale nella somma di due integrali in $x$ e $y$ direzioni, e di nuovo per simmetria quei due integrali devono essere uguali tra loro.

La forma degli integrali sembra essere esattamente la stessa forma matematica dei secondi momenti dell'area di un raggio circolare, il che porta al risultato di cui hai chiesto.

Questo non funziona per sezioni non circolari, perché la distribuzione della sollecitazione non è radialmente simmetrica. Ad esempio, se si confronta la costante di torsione e il momento polare di una sezione quadrata solida, le "costanti" nelle due formule sono diverse. Più la sezione trasversale si discosta da un cerchio, maggiore sarà la differenza.

La costante di torsione per una sezione di forma complessa (ad esempio una trave a I) è difficile da calcolare perché la distribuzione della sollecitazione sulla sezione è complicata e non esiste una semplice "formula" per l'integrazione matematica. Molte delle formule per la torsione nei manuali di ingegneria si basano su ipotesi semplificate piuttosto che su soluzioni matematiche "esatte".

Ma nella vita reale gli "errori" non sono troppo importanti, perché quando un carico torsionale viene applicato a una struttura non circolare, le sezioni trasversali "si deformano", cioè non rimangono più piane . Nella vita reale, la quantità di deformazione è spesso sconosciuta, perché le restrizioni alle estremità del pozzo lo influenzano. Se hai davvero bisogno di una stima accurata della rigidità torsionale di un componente non circolare, devi creare un modello tridimensionale completo del componente stesso e come viene fissato al resto della struttura. Se si crea un modello con quel livello di dettaglio, non ha molto senso ridurre la risposta a un numero solo per poterlo chiamare "rigidità torsionale".

Il momento d'inerzia polare, Ip, è la resistenza di un solido da torcere. Tuttavia, il momento di inerzia della massa rotazionale, J, è il momento di inerzia di un solido rotante. Vedi questo Web .

A quanto ho capito, J è lo stesso del normale momento d'inerzia, ma per gli oggetti rotanti.