Elaborazione della coppia dell'albero in un serbatoio mescolato con una formazione cilindrica della caverna (usando un fluido non newtoniano)

Ecco alcuni retroscena del problema (in un serbatoio mescolato):

"Con fluidi non newtoniani (viscoplastici) da stress di snervamento, è possibile generare un volume agitato attorno alla girante, definito come una caverna, circondato da una regione stagnante in cui lo stress da taglio è insufficiente per superare l'apparente stress da snervamento del fluido. "

A volte puoi ottenere una caverna cilindrica attorno alla girante, vedi l'immagine sotto.

"Eseguendo un equilibrio di forza tra la coppia applicata, Γ e lo sforzo di taglio che agisce sulla superficie di un cilindro, possiamo definire il limite impostando lo sforzo di taglio uguale allo sforzo di snervamento τ = τY. La coppia totale è data da:

$$\Gamma = \frac{\pi}{2} \tau_{y}H_{C}D_{C}^2+\frac{\pi}{6}\tau_{y}D_{C}^3$$

Non riesco proprio a ottenere il secondo mandato. Il primo termine che posso ottenere facendo:

$$\Gamma_{1}=\tau_y \cdot Area_{Curved} \cdot \frac{D}{2} = \pi \cdot \frac{D^2}{2} \cdot H_{c} \cdot \tau_{y}$$

Questo mi dà il primo mandato ... ma il secondo non riesco proprio a ottenere, questo è quello che sto facendo:

$$\Gamma_{2}=\tau_{y} \cdot Area_{Faces} \cdot \frac{D}{2} =\tau_{y} \cdot 2 \pi \cdot \frac{D^2}{4} \cdot \frac{D}{2} = \tau_{y} \cdot \pi \cdot \frac{D^3}{4}$$

Argh, quindi mi sto D ³ /4 invece di D ³ /6 il secondo termine e non riesco proprio a lavorare fuori, se qualcuno può aiutare sarei grato.

$D/2$$r$

$$\int\int\tau_y\cdot r\, dA$$

dove il doppio integrale è sopra l'area in cui la forza agisce. Fare attenzione a selezionare l'area differenziale appropriata per una superficie z costante in coordinate cilindriche. Ho fatto il calcolo e la risposta corrisponde a quella che affermi.