Questo sembra un buon posto per descrivere un modo semplice, veloce e più che ragionevolmente accurato per calcolare le pendenze per un DEM esteso a livello globale .
I principi
Ricordiamo che la pendenza di una superficie in un punto è essenzialmente il rapporto più grande tra "salita" e "corsa" incontrato in tutti i possibili cuscinetti da quel punto. Il problema è che quando una proiezione ha una distorsione di scala, i valori di "run" verranno calcolati in modo errato. Ancora peggio, quando la distorsione della scala varia con il cuscinetto - come nel caso di tutte le sporgenze non conformi - il modo in cui la pendenza varia con il cuscinetto verrà stimato in modo errato, impedendo un'identificazione accurata del rapporto massimo di salita: corsa (e inclinazione del calcolo dell'aspetto).
Possiamo risolvere questo problema utilizzando una proiezione conforme per garantire che la distorsione della scala non vari con il rilevamento e quindi correggendo le stime della pendenza per tenere conto della distorsione della scala (che varia da un punto all'altro della mappa). Il trucco è utilizzare una proiezione conforme globale che consenta un'espressione semplice per la sua distorsione di scala.
La proiezione di Mercatore si adatta al conto: supponendo che la scala sia corretta all'Equatore, la sua distorsione è uguale alla secante della latitudine. Cioè, le distanze sulla mappa sembrano essere moltiplicate per la secante. Questo fa sì che qualsiasi calcolo della pendenza calcoli l'aumento: (sec (f) * corsa) (che è un rapporto), dove f è la latitudine. Per correggere ciò, dobbiamo moltiplicare le pendenze calcolate per sec (f); o, equivalentemente, dividerli per cos (f). Questo ci dà la semplice ricetta:
Calcola la pendenza (come aumento: corsa o percentuale) usando una proiezione di Mercatore, quindi dividi il risultato per il coseno della latitudine.
Flusso di lavoro
Per fare ciò con una griglia indicata in gradi decimali (come un DEM SRTM), procedere come segue:
Crea una griglia di latitudine. (Questa è solo la griglia delle coordinate y.)
Calcola il suo coseno.
Proiettate sia il DEM che il coseno della latitudine usando una proiezione di Mercatore in cui la scala è vera all'equatore.
Se necessario, convertire le unità di elevazione per concordare con le unità delle coordinate proiettate (in genere metri).
Calcola la pendenza del DEM proiettato o come pendenza pura o percentuale ( non come angolo).
Dividi questa pendenza per la griglia del coseno (latitudine) proiettata.
Se lo si desidera, riproiettare la griglia di pendenza su qualsiasi altro sistema di coordinate per ulteriori analisi o mappature.
Gli errori nei calcoli della pendenza saranno fino allo 0,3% (poiché questa procedura utilizza un modello di terra sferica anziché uno ellissoidale, che viene appiattito dello 0,3%). Tale errore è sostanzialmente più piccolo rispetto ad altri errori che rientrano nei calcoli della pendenza e quindi può essere trascurato.
Calcoli completamente globali
La proiezione Mercator non può gestire nessuno dei due poli. Per il lavoro nelle regioni polari, considerare l'utilizzo di una proiezione stereografica polare con scala reale sul polo. La distorsione della scala è uguale a 2 / (1 + sin (f)). Utilizzare questa espressione al posto di sec (f) nel flusso di lavoro. Nello specifico, invece di calcolare una griglia del coseno (latitudine), calcola una griglia i cui valori sono (1 + sin (latitudine)) / 2 ( modifica : usa -latitudine per il Polo Sud, come discusso nei commenti). Quindi procedere esattamente come prima.
Per una soluzione globale completa, prendere in considerazione la suddivisione della griglia terrestre in tre parti - una attorno a ciascun polo e una intorno all'equatore -, eseguendo un calcolo della pendenza separatamente in ciascuna parte utilizzando una proiezione adeguata e mosaicando i risultati. Un posto ragionevole per dividere il globo è lungo i cerchi di latitudine a latitudini di 2 * ArcTan (1/3), che è di circa 37 gradi, perché a queste latitudini i fattori di correzione Mercatore e Stereografica sono uguali tra loro (avendo un valore comune del 5/4) e sarebbe utile ridurre al minimo le dimensioni delle correzioni apportate. Come controllo dei calcoli, le griglie dovrebbero trovarsi in un accordo molto stretto in cui si sovrappongono (piccole quantità di imprecisione in virgola mobile e differenze dovute al ricampionamento delle griglie proiettate dovrebbero essere le uniche fonti di discrepanze).
Riferimenti
John P. Snyder, Proiezioni di mappe - Un manuale di lavoro . USGS Professional Paper 1395, 1987.