L'approccio descritto nella domanda mostra un'attenzione eccezionale nella selezione delle proiezioni per una determinata area di studio. Questa risposta mira solo a stabilire una connessione più diretta tra l'obiettivo (di ridurre al minimo la distorsione) e i passi che sono stati e possono essere adottati, in modo che possiamo essere certi che tale approccio avrà successo (sia qui che nelle applicazioni future).
Tipo di distorsione
Aiuta a inquadrare il problema in modo un po 'più chiaro e quantitativo. Quando diciamo "distorsione", possiamo riferirci a diverse cose correlate ma diverse:
In ogni punto in cui la proiezione è liscia (cioè non fa parte di una "piega" o unione di due diverse proiezioni e non è sul suo confine o una "lacrima"), c'è una distorsione di scala che generalmente varia con il cuscinetto lontano dal punto. Ci saranno due direzioni opposte in cui la distorsione è maggiore. La distorsione sarà almeno nelle direzioni perpendicolari. Queste sono chiamate le direzioni principali . Possiamo riassumere la distorsione della scala in termini di distorsioni nelle direzioni principali.
La distorsione nell'area è il prodotto delle principali distorsioni della scala.
Anche le direzioni e gli angoli possono essere distorti. Una proiezione è conforme quando due percorsi sulla terra che si incontrano in un angolo sono mappati su linee garantite per incontrarsi con lo stesso angolo: i progetti conformi preservano gli angoli. Altrimenti, ci sarà una distorsione degli angoli. Questo può essere misurato.
Anche se vorremmo minimizzare tutte queste distorsioni, in pratica ciò non è mai possibile: tutte le proiezioni sono compromessi. Quindi una delle prime cose da fare è dare la priorità: che tipo di distorsione deve essere controllata?
Misurare la distorsione generale
Queste distorsioni variano da punto a punto e, in ciascun punto, spesso variano in base alla direzione. In alcuni casi prevediamo di eseguire calcoli che coprono l'intera regione di interesse: per loro, una buona misura della distorsione complessiva è il valore medio su tutti i punti, in tutte le direzioni. In altri casi è più importante mantenere le distorsioni entro i limiti stabiliti, qualunque cosa accada. Per loro, una misura più appropriata della distorsione generale è la gamma di distorsioni riscontrate in tutta la regione, tenendo conto di tutte le direzioni possibili. Queste due misure possono essere sostanzialmente diverse, quindi è necessario un pensiero per decidere quale sia la migliore.
La scelta di una proiezione è un problema di ottimizzazione
Una volta che abbiamo selezionato un modo per misurare la distorsione e per esprimere il suo valore per l'intera regione di interesse, il problema diventa relativamente semplice: selezionare una proiezione tra quelle supportate dal proprio software e trovare parametri ammissibili per quella proiezione (come la sua centrale meridiano, fattore di scala e così via) che minimizzano la misura complessiva della distorsione.
Nell'applicazione, questo non è facile da eseguire, perché ci sono molte proiezioni possibili, ognuna in genere ha molti parametri che possono essere impostati e se le distorsioni medie sulla regione devono essere ridotte al minimo, dobbiamo anche calcolare quelle medie (quali importi eseguire un'integrazione bidimensionale o tridimensionale ogni volta che si varia un parametro di proiezione). In pratica, quindi, le persone di solito impiegano l'euristica per ottenere una soluzione ottimale approssimativa:
Identificare una classe di proiezioni adatta per l'attività. Ad esempio , se la corretta valutazione degli angoli sarà importante, limitarsi a proiezioni conformi (come il HOM). Quando il calcolo di aree o densità è importante, limitarsi alle proiezioni di aree uguali (come gli Albers). Quando è importante mappare i meridiani su linee parallele su e giù, scegliere una proiezione cilindrica. Ecc. Ecc.
All'interno di quella classe, concentrati su un piccolo numero noto - attraverso l'esperienza - per essere appropriato per la propria regione di interesse. Questa scelta viene in genere fatta in base all'aspetto della proiezione che potrebbe essere necessario (per la HOM, si tratta di un aspetto "obliquo" o ruotato) e alle dimensioni della regione (in tutto il mondo, un emisfero, un continente o uno più piccolo ). Più grande è la regione, maggiore è la distorsione che devi sopportare. Con regioni di dimensioni più piccole o più piccole, un'attenta selezione di una proiezione diventa sempre meno importante, perché le distorsioni non sono così grandi.
Questo ci porta alla domanda attuale: dopo aver selezionato alcune proiezioni, come scegliere i loro parametri? È qui che emergono i primi sforzi per inquadrarlo come problema di ottimizzazione. Selezionare i parametri per ridurre al minimo la misura di distorsione generale scelta. Questo è spesso fatto per tentativi ed errori, usando valori di partenza ragionevolmente intuitivi.
Applicazione pratica
Esaminiamo i passaggi della domanda da questa prospettiva.
1) ( Definizione della regione di interesse. ) È una semplificazione usare lo scafo convesso. Non c'è nulla di importante in questo, ma perché non usare esattamente la regione di interesse? Il GIS può gestirlo.
2 e 3) ( Trovare un centro di proiezione. ) Questo è un ottimo modo per ottenere una stima iniziale del centro, ma - anticipando le fasi successive in cui varieremo i parametri di proiezione - non è necessario essere pignoli su questo. Qualsiasi tipo di centro "bulbo oculare" andrà bene per cominciare.
4 e 5) ( Scelta dell'aspetto. ) Per la proiezione HOM, il problema riguarda come orientarlo. Ricordiamo che la proiezione Mercator standard, nel suo aspetto equatoriale, mappa accuratamente l'Equatore e la sua vicinanza, ma poi aumenta la sua distorsione esponenzialmente con la distanza dall'Equatore. HOM utilizza essenzialmente la stessa proiezione, ma sposta l'Equatore sulla regione di interesse e la ruota. Lo scopo è quello di posizionare la regione equatoriale a bassa distorsione sulla maggior parte della regione di interesse. A causa della crescita esponenziale della distorsione dall'Equatore, minimizzare la distorsione generale ci impone di prestare attenzione alle parti della nostra regione di interesse che si trovano più lontano dalla linea centrale. Pertanto, il nome di questo gioco è trovare una linea (una geodetica sferica) che transita nella regione in modo tale che (a) la maggior parte dell'area sia il più vicino possibile a quella linea (ciò riduce al minimo la distorsione media) o ( b) le parti della regione più lontane da quella linea siano il più vicino possibile (ciò minimizza la massima distorsione).
Un ottimo modo per eseguire questa procedura per tentativi ed errori è quello di indovinare una soluzione e quindi esplorarla rapidamente con un'applicazione interattiva Tissot Indicatrix. (Fare riferimento a questo esempio sul nostro sito. Per i calcoli necessari, consultare https://gis.stackexchange.com/a/5075 .) L'esplorazione si concentra in genere sui punti in cui la proiezione avrà la maggiore distorsione. Il TI non misurerà solo i vari tipi di distorsione - scala, area, angolo, rilevamento - ma rappresenterà anche graficamente tale distorsione. L'immagine vale più di mille parole (e una mezza dozzina di numeri).
6) ( Scelta dei parametri ) Questo passaggio è molto ben fatto: la domanda descrive un modo quantitativo per valutare la distorsione nella proiezione Albers (Conic Equal Area). Con il foglio di calcolo in mano, è semplice regolare i due parallelismi in modo tale da ridurre al minimo la massima distorsione. È un po 'più difficile regolarli per ridurre al minimo la distorsione media in tutta la regione, quindi ciò viene fatto raramente.
Sommario
Definendo la scelta della proiezione come un problema di ottimizzazione, stabiliamo criteri pratici per fare quella scelta con saggezza e difesa. La procedura può essere efficacemente eseguita per tentativi ed errori, il che implica che non è necessaria particolare attenzione per la selezione iniziale dei parametri: esperienza e intuizione sono di solito sufficienti per iniziare bene, e quindi strumenti interattivi come un'app Tissot Indicatrix e un software associato per le distorsioni di calcolo possono aiutare a finire il lavoro.