Qualsiasi software in grado di proiettare con precisione le coordinate può calcolare precisi indicatori Tissot .
Una buona fonte per le formule è Snyder, John, Map Projections - A Working Manual , principalmente a pp 20-26. (Non li riprodurrò qui perché questo sito non ha strumenti adeguati per comunicare formule matematiche.) Richiedono tutti e quattro i primi derivati delle coordinate proiettate (x, y) rispetto alle coordinate sferiche (lat, lon) = (phi, lambda):
dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).
Tutto il resto delle TI viene calcolato in termini di queste (usando alcune funzioni aritmetiche e trigonometriche: il coseno, il seno inverso principale e la tangente inversa principale). I calcoli richiedono una descrizione della forma della terra. Per la massima precisione, utilizzare un dato ellissoidale con asse semiassiale a ed eccentricità e. (Questi saranno noti al software.)
Il libro di Snyder contiene istruzioni su come calcolare tutto tranne questi derivati. Fallo numericamente. Ho ottenuto risultati eccellenti usando le stime della differenza finita centrale del primo ordine a una distanza di h = 10 ^ (- 5.2) radianti (in genere circa 50 metri): questo è un buon compromesso tra il tentativo di avvicinarsi all'infinito e la perdita di troppa precisione da Arrotondamento in virgola mobile (presupponendo una doppia precisione), poiché l'errore commesso è proporzionale a (10 ^ (- 5.2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10.4) e 10 ^ (- 5.2) equivale a 10 ^ 10,4 volte l'accuratezza della doppia precisione IEEE di 10 ^ (- 15.6) ed è ancora molto più grande della precisione tipica nelle proiezioni, che di solito vanno da 10 ^ (- 10) a circa 10 ^ (- 14).
Quindi, come si calcolano le stime delle differenze finite? Questa parte è sorprendentemente facile. Per ottenere dx / d (phi) in un punto (phi, lambda), chiedi al tuo GIS di proiettare i punti
(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).
Usa le stime
dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.
Allo stesso modo, proiettare i punti
(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)
e usa le stime
dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.
Ciò richiede quattro proiezioni e un po 'di aritmetica. (Puoi ridurlo a tre usando differenze non centrali, ma l'accuratezza diminuisce leggermente. È saggio obiettivo di alta precisione, senza lasciare che h diventi troppo piccolo, a meno che tu non sia sicuro che il tuo GIS stia usando un rilevamento (millimetro) accuratezza nelle sue formule di proiezione.)
Da questi derivati, insieme alle formule di Snyder (prestando attenzione alle modifiche descritte in 4-19 e 4-21), è possibile ottenere le lunghezze degli assi dell'indicatore Tissot in (phi, lambda) e il suo orientamento. Nelle mappe su scala mondiale la TI sarà così piccola da essere invisibile, quindi l'ultima cosa da fare è decidere quanto vuoi ridimensionare ciascuna TI. Determino il fattore di scala scoprendo quanto sarà grande la mappa, trovando le dimensioni dei TI tipici su tutta la mappa e ridimensionando in modo che tali TI siano larghi circa il 6% della mappa. È comunque un buon inizio; Ho lasciato all'utente la regolazione delle dimensioni della TI da lì. Ovviamente ridimensionerai tutte le TI dello stesso importo, in modo che possano essere confrontate e ognuna verrà riscalata attorno al proprio centro (che si ottiene con una quinta proiezione, (phi, lambda) -> (x, y) ).
Una bella aggiunta alla rappresentazione ellittica della TI è quella di mostrare le direzioni del meridiano locale e del parallelo: quindi, a colpo d'occhio, è possibile valutare la convergenza della griglia . Mostro anche un cerchio standard (che non rappresenta alcuna distorsione) concentrico con ogni TI perché migliora la capacità del lettore di misurare la quantità di distorsione rappresentata da ciascuna ellisse.
Da notare in questa proiezione di Mollweide il TI estremo vicino al polo sud. È ancora un'ellisse perfetta e descrive accuratamente la distorsione della mappa lì.
