La pendenza media suona come una quantità naturale ma è piuttosto strana. Ad esempio, la pendenza media di una piana orizzontale piana è zero, ma quando si aggiunge un po 'di rumore casuale, medio zero a un DEM di quella piana, la pendenza media può solo salire . Altri comportamenti strani sono la dipendenza della pendenza media dalla risoluzione DEM, che ho documentato qui , e la sua dipendenza da come è stata creata la DEM. Ad esempio, alcuni DEM creati dalle mappe di contorno sono in realtà leggermente terrazzati - con piccoli salti improvvisi in cui giacciono le linee di contorno - ma per il resto sono rappresentazioni accurate della superficie nel suo complesso. Quei salti improvvisi, se dati troppo o troppo poco peso nel processo di calcolo della media, possono cambiare la pendenza media.
Aumentare la ponderazione è rilevante perché, in effetti, una media armonica (e altri mezzi) stanno pesando in modo differenziato le pendenze. Per comprendere ciò, si consideri la media armonica di soli due numeri positivi x ed y . Per definizione,
Harmonic mean(x,y) = 1 / ((1/x + 1/y)/2) = x (y/(x+y)) + y (x/(x+y)) = a x + b y
dove i pesi sono a = y / (x + y) e b = x / (x + y). (Questi meritano di essere chiamati "pesi" perché sono positivi e si sommano all'unità. Per la media aritmetica, i pesi sono a = 1/2 eb = 1/2). Evidentemente, il peso attaccato a x , uguale a y / (x + y), è grande quando x è piccolo rispetto a y . Quindi armonica significa sovrappesare i valori più piccoli .
Può aiutare ad ampliare la domanda. La media armonica appartiene a una famiglia di medie parametrizzate da un valore reale p . Così come la media armonica è ottenuto dalla media dei reciproci di x ed y (e quindi prendendo il reciproco della media), in generale, si può calcolare la media dei poteri PTH di x ed y (e quindi prendere il potere 1 / PTH del risultato ). I casi p = 1 e p = -1 sono rispettivamente i mezzi aritmetici e armonici. (Possiamo definire una media per p = 0 prendendo i limiti e quindi ottenendo anche la media geometrica come membro di questa famiglia.) Come pdiminuisce da 1, i valori più piccoli sono sempre più fortemente ponderati; e quando p aumenta da 1, i valori più grandi sono sempre più fortemente ponderati. Ne consegue che la media può aumentare solo all'aumentare di p e deve diminuire al diminuire di p . (Ciò è evidente nella seconda figura in basso, in cui tutte e tre le linee sono piatte o aumentano da sinistra a destra.)
Prendendo una visione pratica della questione, potremmo invece studiare il comportamento di vari mezzi di pendenza e aggiungere questa conoscenza alla nostra cassetta degli attrezzi analitica: quando prevediamo che le pendenze entrino in una relazione in modo tale che si debba dare più di un'influenza, potremmo scegliere una media con p minore di 1; e viceversa, potremmo aumentare p sopra 1 per enfatizzare le pendenze maggiori. A tal fine, consideriamo varie forme di profili di drenaggio in prossimità di un punto.
Per mostrare cosa potrebbe succedere, ho considerato tre terreni locali qualitativamente diversi : uno è dove tutte le pendenze sono uguali (il che fa un buon riferimento); un altro è dove localmente siamo situati sul fondo di una ciotola: intorno a noi le pendenze sono zero, ma poi aumentano gradualmente e alla fine, attorno al bordo, diventano arbitrariamente grandi. L'inverso di questa situazione si verifica quando le piste vicine sono moderate ma poi si livellano lontano da noi. Ciò sembrerebbe coprire una gamma realisticamente ampia di comportamenti.
Ecco trame pseudo-3D di questi tre tipi di forme di drenaggio:
Qui ho calcolato la pendenza media di ciascuno - con la stessa codifica a colori - in funzione di p , lasciando che p sia compreso tra -1 (media armonica) e 2.
Ovviamente la linea blu è orizzontale: non importa quale valore p assume, la media di una pendenza costante non può essere altro che quella costante (che è stata impostata su 1 per riferimento). Le pendenze alte attorno al bordo estremo della ciotola rossa influenzano fortemente le pendenze medie quando p varia: nota quanto diventano grandi una volta che p supera 1. Il bordo orizzontale nella terza superficie (verde-oro) provoca la media armonica (p = - 1) essere zero.
È interessante notare che le posizioni relative delle tre curve cambiano in p = 0 (la media geometrica): per p maggiore di 0, la ciotola rossa ha pendenze medie più grandi del blu, mentre per p negativa la ciotola rossa ha media più piccola pendenze rispetto al blu. Pertanto, la scelta di p può modificare anche la classifica relativa delle pendenze medie.
L'effetto profondo della media armonica (p = -1) sulla forma giallo-verde dovrebbe darci una pausa: mostra che quando ci sono abbastanza piccole pendenze nel drenaggio, la media armonica può essere così piccola da sopraffare qualsiasi influenza di tutte le altre piste.
Nello spirito di un'analisi esplorativa dei dati, potresti considerare di variare p - forse lasciandolo compreso tra 0 e leggermente maggiore di 1 per evitare pesi estremi - e scoprire quale valore crea la migliore relazione tra pendenza media e la variabile stanno modellando (come le soglie di inizializzazione del canale). "Migliore" di solito è inteso nel senso di "più lineare" o "creazione di residui [omoscedastici] costanti" in un modello di regressione.